Beviser vektorisk, at diagonaler af en rhombus halverer hinanden vinkelret?

Lade # ABCD # være en rhombus. Det betyder # AB = BC = CD = DA #. Som rhombus er et parallelogram. Ved egenskaber af parallelogram er dets diaginaler # DBandAC # vil bisects hinanden på deres krydsningspunkt # E #

Nu hvis siderne # DAandDC # betragtes som to vektorer, der virker ved D, så diagonal DB vil repræsentere de resulterende af dem.

Så #vec (DB) = vec (DA) + vec (DC) #

Tilsvarende

#vec (CA) = vec (CB) -vec (AB) = vec (DA) -vec (DC) #

Så

#vec (DB) * vec (CA) = vec (DA) * vec (DA) -vec (DC) * vec (DC) #

# = Absvec (DA) ^ 2-absvec (DC) ^ 2 = 0 #

Siden # DA = DC #

Derfor er diagonaler vinkelret på hinanden.

Koordinaterne for en rhombus er angivet som (2a, 0) (0, 2b), (-2a, 0) og (0-2b). Hvordan skriver du en plan for at bevise, at midtpunkterne på siderne af en rhombus bestemmer et rektangel ved hjælp af koordinatgeometri?

Se nedenfor. Lad punkterne i rhombus være A (2a, 0), B (0, 2b), C (-2a, 0) og D (0.-2b). Lad midtpunkterne af AB være P og dets koordinater er ((2a + 0) / 2, (0 + 2b) / 2) dvs. (a, b). Tilsvarende er midtpunktet for BC Q (-a, b); midtpunktet af CD er R (-a, -b) og midtpunktet for DA er S (a, -b). Det er tydeligt, at mens P ligger i Q1 (første kvadrant) ligger Q i Q2, R ligger i Q3 og S ligger i Q4. Endvidere er P og Q afspejling af hinanden i y-aksen, Q og R afspejler hinanden i x-akse, R og S reflekterer hinanden i y-akse, og S og P afspejler hinanden i x-aksen. Derfor danner PQRS eller midtpunkterne på

To biler var 539 miles fra hinanden og begyndte at rejse mod hinanden på samme vej på samme tid. En bil går 37 miles i timen, den anden går på 61 miles i timen. Hvor lang tid tog det for de to biler at passere hinanden?

Tiden er 5 1/2 timer. Bortset fra de givne hastigheder er der to ekstra stykker information, som er givet, men er ikke indlysende. rArr Summen af de to afstande, der er rejst af bilerne, er 539 miles. rArr Tiden fra bilerne er den samme. Lad være den tid, som bilerne skal passere hinanden. Skriv et udtryk for den tilbagelagte afstand i t. Afstand = hastighed x tid d_1 = 37 xx t og d_2 = 61 xx t d_1 + d_2 = 539 Så, 37t + 61t = 539 98t = 539 t = 5.5 Tiden er 5 1/2 timer.

Beviser vektorisk, at medianen af en enslig trekant er vinkelret på basen.

I DeltaABC er AB = AC og D midtpunktet for BC. Så udtrykker vi i vektorer har vi vec (AB) + vec (AC) = 2vec (AD), da AD er halvdelen af parallelogrammets diagonale med tilstødende sider ABandAC. Så vec (AD) = 1/2 (vec (AB) + vec (AC)) Nu vec (CB) = vec (AB) -vec (AC) Så vec (AD) * vec (CB) = 1/2 vec (AB) + vec (AC)) * (vec (AB) -vec (AC)) = 1/2 (vec (AB) * vec (AB) - vec (AB) * vec (AC) + vec ) * vec (AB) + vec (AC) * vec (AC)) = 1/2 (absvec (AB) ^ 2-absvec (AC) ^ 2) = 1/2 (absvec (AB) ^ 2-absvec AB) ^ 2) = 0, da AB = AC Hvis theta er vinklen mellem vec (AD) og vec (CB), så er absvec (AD) absvec (