Lad P være et hvilket som helst punkt på konisk r = 12 / (3-sin x). Lad F¹ og F² være punkterne (0, 0 °) og (3, 90 °). Vis at PF¹ og PF² = 9?

Svar:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Vi bliver bedt om at vise # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, dvs. # P # fejer ud en ellipse med foci # F_1 # og # F_2. # Se beviset nedenfor.

Forklaring:

Lad os rette, hvad jeg gætter, er en skrivefelt og sige #P (r, theta) # tilfredsstiller

#r = 12 / {3-sin theta} #

Sortimentet af sinus er #pm 1 # så vi konkluderer # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

I rektangulære koordinater, # P = (r cos theta, r sin theta) # og # F_2 = (3 cos 90 ^ cirk, 3 sin 90 ^ cirk) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta-3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # da vi allerede ved det # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #