Vi har:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Trin 2 - Identificer kritiske punkter
Et kritisk punkt opstår ved en samtidig opløsning af
# f_x = f_y = 0 iff (delvis f) / (delvist x) = (delvist f) / (delvis y) = 0 #
dvs. når:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # samtidigt
Herfra kan vi etablere:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x)
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y)
Således kræver vi at:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Så har vi to (uendelige fly) løsninger:
#:. x = + - y #
Og så konkluderer vi, at der er uendeligt mange kritiske punkter langs hele længden af krydsets skæringspunkt og de to fly
Trin 3 - Klassificer de kritiske punkter
For at klassificere de kritiske punkter udfører vi en test svarende til den for en variabel beregning ved hjælp af de andre partielle derivater og Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (xx) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | (delvist ^ 2 f) / (delvist x 2), (delvist ^ 2 f) / (delvist x delvist y)), ((delvist ^ 2 f) /) / (delvis y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Derefter afhænger værdien af
# {: (Delta> 0, "Der er maksimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et minimum hvis" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "der er et sadelpunkt"), (Delta = 0, "Yderligere analyse er nødvendig"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
(x2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Vi skal overveje tegn på
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Så afhængigt af tegnet
Her er en plot af funktionen
Og her er et plot af funktionen herunder flyene
