Calculus

Lim _ (x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) = (9) / (40a ^ (2)) lim _ x-> a) (x ^ 3/8-a ^ 3/8) / (x ^ 5/3-a ^ 5/3) Som vi nemt kan genkende at dette er 0/0, ændrer vi fraktionen (x ^ 3-a ^ 3) * 3) / ((x ^ 5-a ^ 5) * 8) Anvend factoringreglen (annullér (x -a) (a ^ 2 + ax + x ^ 2) * 3 ) / (8cancel (xa) (x ^ 4 + x ^ 3a + x ^ 2a ^ 2 + xa ^ 3 + a ^ 4) Indsæt værdien a ((a ^ 2 + aa + a ^ 2) * 3) / (8 (a ^ 4 + a ^ 3a + a ^ 2a ^ 2 + aa ^ 3 + a ^ 4) (3a ^ 2) * 3) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 3 ^ 1 + a ^ 2a ^ 2) (9a ^ 2) / (8 (2a ^ 4 + 2a ^ 4 + a ^ 4) (9a ^ 2) / (8 (5a ^ 4) (9a ^ 2) / (40a ^ 4) = ( 9) / (40a Læs mere »

Arctan (ex) + C "skriv" exx "dx som" d (e ^ x) ", så får vi" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "med substitutionen y =" e ^ x "får vi" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) "som er lig med" arctan (y) + C "Nu erstatter tilbage" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C Læs mere »

"Karakteristisk ligning er:" z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 " skive af quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0 "" så vi har to komplekse løsninger, de er "z = (1 pm sqrt (15) i) / 2" Så den generelle løsning af den homogene ligning er: "A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) ix) + C' exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) ix) = A + B eks (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) "Den særlige løsning til den komplette ligning er" "y = x, "" Det Læs mere »

Se svaret nedenfor: Credits: 1. Tak til omatematico.com (undskyld for portugisiske), der minder os om de relaterede priser på hjemmesiden: 2. Tak til KMST, der minder os om relateret til relaterede priser på hjemmesiden: http://www.algebra.com/algebra/homework/Finance/Finance.faq.question.831122.html Læs mere »

A) Derivatet findes ikke B) Ja C) Nej Spørgsmål A Du kan se dette på flere forskellige måder. Enten kan vi differentiere funktionen for at finde: f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)), som er udefineret ved x = 2. Eller vi kan se grænsen: lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ 2/5) -3 (2-2) ^ (3/5)) / h = = lim_ (h-> 0) 0 / h Denne grænseværdi eksisterer ikke, hvilket betyder at derivatet ikke findes i det punkt. Spørgsmål B Ja, middelværdets sætning gælder. Differentieringsbetingelsen i middelværdets s&# Læs mere »

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = farve (blå) (3/8 Her er to forskellige metoder, du kan bruge til dette problem anderledes end Douglas K.s metode til brug af l'Hôpital s reglen. Vi bliver bedt om at finde grænsen lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] Den enkleste måde du kan gøre her er at sætte et meget stort antal til x (f.eks. 10 ^ 10) og se resultatet, den værdi der kommer ud er generelt grænsen (du kan ikke altid gøre dette, så denne metode er normalt urådigt): (3 (10 ^ 10) -2) / (8 (10 ^ 10) +7) ~ ~ farve (blå) (3/8 Men det følgende er en surefire Læs mere »

Lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = oo Maclaurin ekspansion af e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .. ..... Derfor er e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) + .......:. lim_ (x-> oo) (e ^ x-1) / x = lim_ (x-> oo) (x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .... ..) / x) = lim_ (x-> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + .......) = oo Læs mere »

Bær med mig en smule, men det involverer ligningens aflytningsligning af en linje baseret på 1. derivat ... Og jeg vil gerne lede dig til vejen for at gøre svaret, ikke bare give dig svaret ... Okay , inden jeg kommer til svaret, vil jeg lade dig ind på den (noget) humoristiske diskussion, min kontorpartner, og jeg havde bare ... Mig: "Okay, venteteknik ... Du kender ikke g (x) men du ved, at derivatet er sandt for alle (x) ... Hvorfor vil du foretage en lineær fortolkning baseret på derivatet? Tag bare integralet af derivatet, og du har den oprindelige formel ... Right? " OM: " Læs mere »

F er konveks i RR Løst det tror jeg. f er 2 gange differentierbar i RR, så f og f 'er kontinuerlige i RR Vi har (f' (x)) ^ 3 + 3f '(x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 Differentiering af begge dele vi får 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <=> 3f' '(x) (x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 f '(x) ^ 2> = 0 så f' (x) ^ 2 + 1> 0 <=> f '' x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0) Vi har brug for tegnet af tælleren, så vi betragter en ny funktion g x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + Læs mere »

Dette er en relateret hastighed (af forandring) type problem. De interesserede variabler er a = højde A = område, og da området af en trekant er A = 1 / 2ba, har vi brug for b = base. De givne ændringer er i enheder pr. Minut, så den (usynlige) uafhængige variabel er t = tid i minutter. Vi får: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Og vi bliver bedt om at finde (db) / dt når a = 9 cm og A = 81 cm "" 2 A = 1 / 2ba, der differentieres med hensyn til t, får vi: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Vi skal bruge produktreglen til højre. (dA) / dt Læs mere »

V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 Området er løsningen af dette system: {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} Og det er skitseret i dette diagram: Formlen for volumenet af en x-akse rotation solid er: V = pi * int_a ^ bf ^ 2 (z) dz. For at anvende formlen skal vi oversætte halvmåne på x-aksen, området ændres ikke, og det ændrer heller ikke lydstyrken: y = -x ^ 2 + 2x + 3farve (rød) (- 3 ) = - x ^ 2 + 2x y = 3farve (rød) (- 3) = 0 På denne måde får vi f (z) = - z ^ 2 + 2z. Det oversatte område er nu planlagt her: Men hvad er integralens a og b? Løsninge Læs mere »

Se nedenunder. Jeg håber det hjælper. Det partielle derivat er iboende forbundet med den samlede variation. Antag, at vi har en funktion f (x, y), og vi vil vide, hvor meget det varierer, når vi introducerer en stigning til hver variabel. Fastsætte ideer, hvilket gør f (x, y) = kxy vi vil vide, hvor meget det er df (x, y) = f (x + dx, y + dy) har f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy og derefter df (x, y) = kxy + kx dx + ky dy + k dx dy-k xy = kx dx + ky dy + k dx dy Valg dx, dy vilkårligt lille derefter dx dy ca 0 og derefter df (x, y) = kx dx + ky dy men ge Læs mere »

Her gør jeg det: - Jeg vil lade nogle "" theta = arcsin (9x) "" og nogle "" alpha = arccos (9x) Så jeg får, "" sintheta = 9x "" og "" cosalpha = 9x Jeg differentierer begge implicit som dette: => (costheta) (d (theta)) / (dx) = 9 "= = (d (theta)) / (dx) = 9 / (costheta) = 9 / (sqt (1-sin ^ 2theta)) = 9 / (sqrt (1- (9x) ^ 2) - Dernæst skelner jeg cosalpha = 9x => (- sinalpha) * (d (alfa)) / = 9 / (sqt (1-cosalpha)) = - 9 / sqrt (1- (9x)) / (dx) = - 9 / 2) Samlet set "" f (x) = theta + alfa Så, f ^ ('') (x) = (d Læs mere »

Normal linje: y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2. Tangent linje: y = e ^ 2x -e ^ 2. Til intuition: Forestil dig, at funktionen f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy beskriver højden af noget terræn, hvor x og y er koordinater i flyet, og ln (y) antages at være det naturlige logaritme. Så er alle (x, y) sådan, at f (x, y) = a (højden) lig med nogle konstante a kaldes niveaukurver. I vores tilfælde er den konstante højde a nul, da f (x, y) = 0. Du er måske bekendt med topografiske kort, hvor de lukkede linjer indikerer linjer med samme højde. Nu er gradientgraden f (x, y) = ((delvis f) / (delvi Læs mere »

C = 4 Middelværdi: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2 dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Så er gennemsnitsværdien (-4 / c + 4) / (c-1) Løsning (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 får os c = 4. Læs mere »

Dy / dx er nul for x = -2 pm sqrt (11), og dy / dx er udefineret for x = -2 Find derivatet: dy / dx = (d (x ^ 2 - 3x + 1)) / dx 1 / (x + 2) + (x ^ 2 - 3x + 1) (d) / (dx) (1 / (x + 2)) = (2x-3) / (x + 2) 3x + 1) 1 / (x + 2) ^ 2 = (2x-3) (x + 2) - (x ^ 2 - 3x + 1)) / (x + 2) ^ 2 = (2x ^ 2 - 3x + 4x -6 - x ^ 2 + 3x-1) / (x + 2) ^ 2 = (x ^ 2 + 4x -7) / (x + 2) ^ 2 ved produktreglen og forskellige forenklinger. Find nuller: dy / dx = 0 hvis og kun hvis x ^ 2 + 4x -7 = 0. Dette polynoms rødder er x_ {1,2} = (1/2) (- 4 pm sqrt (4 ^ 2-4 (-7))) = -2 pm sqrt (11), så dy / dx = 0 for x = -2 pm sqrt (11). Find hvor dy / dx e Læs mere »

Dy / dx = 3sqrtx y = 2xsqrtx = uv dy / dx = u (dv) / dx + v (du) / dx u = 2x (du) / dx) = 2 v = sqrtx = x ^ (1/2) dv) / (dx) = 1/2 * x ^ (1 / 2-1) = x ^ (- 1/2) / 2 dy / dx = 2x * x ^ (- 1/2) / 2 + 2 * x ^ (1/2) = sqrtx + 2sqrtx = 3sqrtx Læs mere »

F (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 ^ ^ => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) "Tag nu" C_1 (y) = y ^ 6 + c C_2 (x) = x ^ 4 + c "Så har vi en og samme f, som opfylder betingelserne." => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c Læs mere »

Maksimum: 1/2 Minimum: -1/2 En alternativ tilgang er at omarrangere funktionen i en kvadratisk ligning. Som dette: f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 Lad f ) = c "" for at få det til at se neatere ud :-) => cx ^ 2-x + c = 0 Husk at for alle reelle rødder i denne ligning er diskriminanten positiv eller nul. Så vi har (-1) ^ 2- 4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 Det er let at genkende, at -1/2 < = c <= 1/2 Derfor, -1/2 <= f (x) <= 1/2 Dette viser, at maksimumet er f (x) = 1/2 og Læs mere »

Krydsningskurven kan parametrieres som (z, r) = ((81/2) sin2 theta, 9). Jeg er ikke sikker på hvad du mener ved vektorfunktion. Men jeg forstår det, at du søger at repræsentere krydsningskurven mellem de to overflader i spørgsmålet. Da cylinderen er symmetrisk omkring z-aksen, kan det være lettere at udtrykke kurven i cylindriske koordinater. Skift til cylindriske koordinater: x = r cos theta y = r sin theta z = z. r er afstanden fra z-aksen, og theta er mod uret vinklen fra x-aksen i x, y-planet. Så bliver den første overflade x ^ 2 + y ^ 2 = 81 r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ Læs mere »

Den generelle løsning er: phi = Ae ^ (- (8pi ^ 2mE) / h ^ 2x) Vi kan ikke fortsætte yderligere, da v er undefined. Vi har: (dphi) / dx + k phi = 0 Dette er en første ordreseparativ ODE, så vi kan skrive: (dphi) / dx = - k phi 1 / phi (dphi) / dx = vi adskiller variablerne for at få int 1 / phi d phi = - int k dx Hvilket består af standardintegrale, så vi kan integrere: ln | phi | = -kx + lnA:. | Phi | = Ae ^ (- kx) Vi bemærker, at eksponentialen er positiv over hele dens domæne, og vi har også skrevet C = lnA som integrasjonskonstant. Vi kan så skrive den generelle l&# Læs mere »

Y = - (3x) /14-2.53 "Tangent": d / dx [f (x)] = f '(x) "Normal": - 1 / (f' (x)) = - 1 / dx [cscx + tanx-cotx]) = - 1 / (d / dx [cscx] + d / dx [tanx] -d / dx [cotx]) = - 1 / (- cscxcotx + sek ^ 2x + csc ^ 2x ) -1 / (f '(- pi / 3)) - 1 / (- csc (-pi / 3) barneseng (-pi / 3) + sec ^ 2 (-pi / 3) + csc ^ 2 pi / 3)) = - 1 / (14/3) = - 3/14 y = mx + cf (a) = ma + c csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) pi / 3) = - pi / 3 (-3/14) + cc = csc (-pi / 3) + tan (-pi / 3) -cot (-pi / 3) + pi / 3 (-3/14 ) c = -2,53 y = - (3x) / 14-2,53 Læs mere »

(dy) / (dx) = secxtanx-sec ^ 2x For at differentiere sekx her '/ hvordan det går: secx = 1 / cosx Du skal anvende en kvotientregel: det er "nævneren (cosx)" xx "derivat af tæller" 1) - "nivellerivnederivat (cosx) tæller" xx "nivellerivativat" (cosx) OG ALLE DER - :( "nævneren") ^ 2 (d (secx)) / (dx) = (cosx (0) - 1 (-sinx)) / (cosx) ^ 2 = sinx / cos ^ 2x = 1 / cosx xx sinx / cosx = farve (blå) (sekxtanx) Nu går vi til tanx Samme princip som ovenfor: (d (tanx)) / (dx) = (cosx (cosx) -sin (-COSX)) / (cosx) ^ 2 = (cos ^ 2x + sin ^ 2x) / c Læs mere »

Pi ln3 Hvis tan (3x) = 0, så er sin (3x) = 0 og cos (3x) = + -1 Derfor er 3x = kpi for et helt tal k. Vi fik at vide, at der er et nul på [0,1,4]. Det nul er IKKE x = 0 (siden tan 1! = 0). Den mindste positive løsning skal have 3 ^ x = pi. Derfor er x = log_3 pi. Lad os nu se på derivatet. f '(x) = sec ^ 2 (3 ^ x) * 3 ^ x ln3 Vi kender ovenfra at 3 ^ x = pi, så på dette tidspunkt f' = sec ^ 2 (pi) * pi ln3 = (- 1 ) ^ 2 pi ln3 = pi ln3 Læs mere »

A = 2 og b = -4 Giv: y = ax ^ 2 + bx, y (1) = -2 Fra den givne kan erstatte 1 for x og 2 for y og skriv følgende ligning: -2 = a + b " [1] "Vi kan skrive den anden ligning ved at bruge det første derivat er 0, når x = 1 dy / dx = 2ax + b 0 = 2a + b" [2] "Træk ligning [1] fra ligning [2]: 0 - -2 = 2a + b - (a + b) 2 = aa = 2 Find værdien af b ved at erstatte a = 2 i ligning [1]: -2 = 2 + b -4 = bb = -4 Læs mere »

(df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) fra definitionen af derivatet og tager nogle grænser. Lad f (x) = x ^ 2 sin (x). Derefter (df) / dx = lim_ {h til 0} (f (x + h) - f (x)) / h = lim_ {h til 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h til 0} (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h = lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + lim_ {h til 0} (x ^ 2sin (h) cos (h) + h + lim_ {h til 0} (2hx (sin (x) cos (h) + synd (h) cos (x))) / h + lim_ {h til 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h ved en trigonometrisk identitet og nogle forenklinger. P&# Læs mere »

-in (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) For dette problem skal vi bruge kædelegemet samt det faktum, at derivatet af cos (u) = -in ( u). Kæde regel siger i det væsentlige kun, at du først kan udlede den eksterne funktion med hensyn til hvad der er inde i funktionen, og multiplicere dette med derivatet af hvad der er inde i funktionen. Formelt, dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, hvor u = x ^ 2 + 1. Vi skal først udarbejde derivatet af den bit inde i cosinus, nemlig 2x. Derefter, efter at have fundet derivatet af cosinusen (en negativ sinus), kan vi blot formere den med 2x. = -Sin (x ^ 2 + 1) * 2x Læs mere »

1568 * pi cc / minut Hvis radiusen er r, så ændres hastigheden af r med hensyn til tid t, d / dt (r) = 2 cm / minut. Volumen som en funktion af radius r for en sfærisk genstand er V ( r) = 4/3 * pi * r ^ 3 Vi skal finde d / dt (V) ved r = 14cm Nu d / dt (V) = d / dt (4/3 * pi * r ^ 3) = (4pi) / 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt (r) = 4pi * r ^ 2 * d / dt (r) Men d / dt (r) = 2 cm / minut. Således er d / dt (V) ved r = 14 cm: 4pi * 14 ^ 2 * 2 kubik cm / minut = 1568 * pi cc / minut Læs mere »

Dette er et problem med relaterede priser (af forandring). Den hastighed, ved hvilken luft blæses ind, måles i volumen pr. Tidsenhed. Det er en hastighedsændring i forhold til tiden. Den hastighed, ved hvilken luft blæses i, er det samme som den hastighed, hvormed ballonens volumen er stigende. V = 4/3 pi r ^ 3 Vi ved (dr) / (dt) = 5 "cm / sek". Vi ønsker (dV) / (dt) når r = 13 "cm". Differentier V = 4/3 pi r ^ 3 implicit med hensyn til td / (dt) (V) = d / (dt) (4/3 pi r ^ 3) (dV) / (dt) = 4/3 pi * 3r ^ 2 (dr) / (dt) = 4 pi r ^ 2 (dr) / (dt) Indsæt det, du kender og l& Læs mere »

Y = A e ^ -x + x - 1 "Dette er en lineær førsteordelses diff. eq. Der findes en generel teknik til løsning af denne form for ligning. Situationen her er imidlertid enklere" ". "Forsøg først løsningen af den homogene ligning (= den samme ligning med højre side lig med nul:" {dy} / {dx} + y = 0 "Dette er en lineær førsteordens diff. Eq. Med konstante koefficienter . "" Vi kan løse dem med substitutionen "y = A e ^ (rx): r A e ^ (rx) + A e ^ (rx) = 0 => r + 1 = 0" (efter opdeling gennem "A e ^ (rx) ")" => Læs mere »

"Multiplicere med" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Så får du" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt x ^ 2 - 7 x + 3)) "(fordi" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(fordi" lim_ {x-> oo} 1 x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (3 x) = Læs mere »

Dy / dx = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 dy / dx = (y '(t)) / (x' (t)) y (t) = 1 / (1-t ^ 2) y '(t) = ((1-t ^ 2) d / dt (1-t ^ 2) ^ 2 farve (hvid) (y '(t)) = (- (- 2t)) / (1-t ^ 2) ^ 2 farve (hvid) (y '(t)) = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2 x (t) = t / (t-4) x' (t) = ( (T-4) d / dt [t] -td / dt [t-4]) / (t-4) ^ 2 farve (hvid) 4) ^ 2 farve (hvid) (x '(t)) = - 4 / (t-4) ^ 2 dy / dx = (2t) / (1-t ^ 2) 2 -: - 4 / -4) ^ 2 = (2t) / (1-t ^ 2) ^ 2xx- (t-4) ^ 2/4 = (- 2t (t-4) ^ 2) / (4 (1-t ^ 2 ) ^ 2) = - (t (t-4) ^ 2) / (2 (1-t ^ 2) ^ 2) = - t / 2 ((t-4) / (1-t ^ 2)) ^ 2 Læs mere »

Denne integral eksisterer ikke. Siden ln x> 0 i intervallet [1, e], har vi sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x her, så integralet bliver int_1 ^ e dx / {x ln x} Erstatning ln x = u, så dx / x = du, så at int_1 ^ dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Dette er en ukorrekt integral, da integanden afviger i den nederste grænse. Dette defineres som lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u, hvis dette eksisterer. Nu eksisterer int_l ^ 1 {du} / u = ln l - ln l = -ln l da dette afviger i grænsen l -> 0 ^ +, eksisterer integralet ikke. Læs mere »

Ved x = 1 Overvej nævneren. x ^ 2 + 2x -3 Kan skrives som: x ^ 2 + 2x +1 -4 (x + 1) ^ 2 -4 (x + 1) ^ 2 -2 ^ 2 Nu fra forhold a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) vi har (x + 1 +2) (x + 1 -2)) (x + 3) (x-1)) Hvis x = 1 er nævneren i ovennævnte funktion nul og funktionen har tendens til at være oo og ikke differentierbar. Er afskyelig. Læs mere »

V = 4/3r ^ 3pi (dV) / (dt) = 4/3 (3r ^ 2) (dr) / dtpi (dV) / (dt) = (4r ^ 2) (dr) / (dt) pi Nu vi ser på vores mængder for at se, hvad vi har brug for og hvad vi har. Så vi kender hastigheden, hvormed lydstyrken ændrer sig. Vi kender også det indledende volumen, som giver os mulighed for at løse for radius. Vi ønsker at kende den hastighed, hvor radius ændrer sig efter 7 timer. 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 rod (3) (255 / pi) = r Vi sætter denne værdi i for "r" inde i derivatet: (dV) / (dt) = 4 (root (3) (255 / pi)) ^ 2 (dr) / (dt) pi Vi ved at Læs mere »

-3. Lad f (x) = ([2-x] + [x-2] -x). Vi finder venstre hånd og højre håndgrænse for f som x til2. Som x til 2-, x <2; "fortrinsvis 1 <x <2." Når vi tilføjer -2 til uligheden, får vi, -1 lt (x-2) <0, og multiplicerer uligheden med -1, vi får 1 gt 2-x gt 0.:. [x-2] = - 1 ......., og, ................. [2-x] = 0. rArr lim_ (x til 2-) f (x) = (0 + (- 1) -2) = - 3 ....................... star_1). Som x til 2+, x gt 2; "fortrinsvis" 2 lt x lt 3:. 0 lt (x-2) lt 1 og -1 l (2-x) lt 0.:. [2-x] = - 1, ......., og, .............. [x-2] = 0. rArr lim_ (x til 2+) f ( Læs mere »

Se nedenunder. Afledet af hastighed er acceleration, det vil sige at hældningen af hastighedstidsgrafen er accelerationen. Tager afledet af hastighedsfunktionen: v '= 2 - 2sin (2t) Vi kan erstatte v' ved a. a = 2 - 2sin (2t) Nu sæt a til 0. 0 = 2 - 2sin (2t) -2 = -2sin (2t) 1 = sin (2t) pi / 2 = 2t t = pi / 4 Da vi ved 0 <t <2 og periodiciteten af sin (2x) funktionen er pi, vi kan se, at t = pi / 4 er den eneste gang, hvor accelerationen vil være 0. Læs mere »

Svaret er = x "bc" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C Vi har brug for (sec ^ -1x) '= ("bue" secx)' = 1 / (xsqrt 2-1)) intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) Integration af dele er intu'v = uv-intuv 'Her har vi u' = 1, =>, u = xv = "bue "secx, =>, v '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) Derfor er int" bue "secxdx = x" bue "secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) Udfør det andet integral ved substitution Lad x = secu, =>, dx = secutanudu sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu ) / (tanu) = intsecudu = int (secu + tanu) d Læs mere »

Afstanden ændres ved sqrt (1476) / 2 knob i timen. Lad afstanden mellem de to både være d, og antallet af timer de har rejst være h. Ved pythagorasætningen har vi: (15h) ^ 2 + (12h) ^ 2 = d ^ 2 225h ^ 2 + 144h ^ 2 = d ^ 2 369h ^ 2 = d ^ 2 Vi differentierer nu dette med tiden. 738h = 2d ((dd) / dt) Det næste trin er at finde ud af, hvor langt fra hinanden de to både er efter to timer. Om to timer har den nordgående båd gjort 30 knuder, og den vestgående båd vil have gjort 24 knob. Dette betyder, at afstanden mellem de to er d ^ 2 = 24 ^ 2 + 30 ^ 2 d = sqrt (1476) Vi ved Læs mere »

78,1mi / hr Bil A rejser sydpå og bil B rejser vest, hvorfra oprindelsen er det punkt, hvor bilerne begynder ligning af bil A = Y = -60t ligning af bil B = X = -25t Afstand D = (X ^ 2 + Y ^ 2) ^ 0,5 D = (2500t + 3600t) ^ 0,5 D = (6100t) ^ 0,5 D = 78,1 * t ændringshastighed for D dD / dt = 78,1 hastigheden for ændring af afstanden mellem bilerne er 78,1 mph Læs mere »

A) N (14) = 3100-400sqrt2 ~~ 2534 farve (hvid) (... |) N (34) = 3900-400sqrt2 ~~ 3334 b) N (t) = 400sqrt (t + 2) + 1500- 400sqrt2 Vi begynder med at løse for N (t). Vi kan gøre dette ved blot at integrere begge sider af ligningen: N '(t) = 200 (t + 2) ^ (- 1/2) int N' (t) dt = int 200 (t + 2) ^ (- 1/2) dt Vi kunne gøre en u-substitution med u = t + 2 for at evaluere integralet, men vi genkender at du = dt, så vi kan bare lade ud som om t + 2 er en variabel og bruge strømmen reglen: N (t) = (200 (t + 2) ^ (1/2)) / (1/2) + C = 400sqrt (t + 2) + C Vi kan løse konstant C, da vi ved, at N ( Læs mere »

Lad os tage nogle derivater! For f (x) = 1 - x - e ^ (- 3x) / x har vi f '(x) = - 1 - (-3xe ^ (- 3x) -e ^ (- 3x)) / x ^ 2 Dette forenkler (slags) til f '(x) = - 1 + e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 Derfor er f' '(x) = e ^ (- 3x) ) / x ^ 3-3e ^ (- 3x) (3x + 1) / x ^ 2 = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3-3 (3x + 1) / x ^ 2 ) = e ^ (- 3x) ((- 3x-2) / x ^ 3 + (- 9x-3) / x ^ 2) = e ^ (- 3x) ((3x-2) / x ^ 3 + (-9x ^ 2-3x) / x ^ 3) = e ^ (- 3x) ((- 9x ^ 2-6x-2) / x ^ 3) Lad nu x = 4. f '' (4) = e ^ (- 12) ((- 9 (16) ^ 2-6 (4) -2) / 4 ^ 3) Vær opmærksom på, at eksponenten altid er positiv. Tællere Læs mere »

Dy / dx = 2 / x ^ 2 Du kan blive fristet til at bruge implicit differentiering her, men da du har en relativt simpelt ligning, er det meget nemmere at løse for y i form af x, og brug bare normal differentiering. Så: 2 + xy = x => y = (x-2) / x = 1 - 2 / x Nu bruger vi bare en enkel strømregel: => dy / dx = - (- 2x ^ -2) = 2 / x ^ 2 Der er du! Bemærk at du kunne have brugt implicit differentiering for at løse dette, men ved at gøre dette har vi et derivat, der er i form af bare x, hvilket er lidt mere praktisk. Uanset hvilken metode du bruger, skal dit svar være det samme. Håber Læs mere »

False Som du troede, skulle intervallet være lukket for at udsagnet var sandt. For at give en eksplicit modeksempel skal du overveje funktionen f (x) = 1 / x. f er kontinuerlig på RR {0} og er således kontinuerlig på (0,1). Men som lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = oo er der klart ingen point c i (0,1) sådan at f (c) er maksimal inden for (0,1). Faktisk for enhver c i (0,1) har vi f (c) <f (c / 2). Således står ikke udsagnet for f. Læs mere »

Venligst henvis til forklaringen. For at vise at h er kontinuerlig, skal vi kontrollere kontinuiteten ved x = 3. Vi ved, at det vil fortsætte. ved x = 3, hvis og kun hvis, lim_ (x til 3) h (x) = h (3) = lim_ (x til 3+) h (x) ............ ................... (ast). Som x til 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1. :. lim_ (x til 3-) h (x) = lim_ (x til 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (x til 3-) h (x) = 4 ............................................ .......... (ast ^ 1). Tilsvarende er lim_ (x til 3+) h (x) = lim_ (x til 3+) 4 (0,6) ^ (x-3) = 4 (0,6) ^ 0. rArr lim_ (x til 3+) h (x) = 4 ........... Læs mere »

Funktionen er kontinuerlig på hele dens domæne. Domænet af f (x) = 1 / sqrtx er det åbne interval (0, oo). For hvert punkt, a er i dette interval f kvoten for to kontinuerlige funktioner - med en ikke-nullnævner - og er derfor kontinuerlig. Læs mere »

Root (4) (84) ~~ 3,03 Bemærk at 3 ^ 4 = 81, som er tæt på 84. Så rod (4) (84) er lidt større end 3. For at opnå en bedre tilnærmelse kan vi bruge en lineær tilnærmelse, aka Newtons metode. Definer: f (x) = x ^ 4-84 Så: f '(x) = 4x ^ 3 og givet en omtrentlig nul x = a af f (x), en bedre tilnærmelse er: a - (f (a)) / (f '(a)) Så i vores tilfælde, at sætte a = 3 er en bedre tilnærmelse: 3- (f (3)) / (f' (3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) Dette er næsten nøjagtigt til 4 sign Læs mere »

Dette ses let som ikke gøres ved elementære midler, så jeg har lige løst det numerisk og fik: Jeg vurderede integralet for n = 1, 1,5, 2,. . . , 9,5, 10, 25, 50, 75, 100. Derefter nåede det klart 0,5. Læs mere »

2 For enhver linje: {(y = mx + b), (y '= m):} qquad m, b i RR Plugging i DE: m + xm ^ 2 - y = 0 indebærer y = m ^ 2 x + m qquad qquad = mx + bm = m ^ 2 betyder m = 0,1 betyder b = 0,1:. y = {(0), (x + 1):} begge tilfredsstille DE Læs mere »

(Ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 ... Vi kender følgende Maclaurin-serie til ln (x + 1): ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ +1) / nx ^ n = xx ^ 2/2 + x ^ 3/3 ... Vi kan finde en serie for ln (x ^ 2 + 1) ved at erstatte alle x'erne med x ^ 2: ln (x ^ 2 + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n Nu kan vi bare dividere med x ^ 2 for at finde serien vi søger: (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = = sum_ (n = 1 ) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n Læs mere »

De overordnede trin er: Tegn en trekant, der er i overensstemmelse med den givne information, mærkning relevante oplysninger. Bestem hvilke formler, der giver mening i situationen (Område af hele trekanten baseret på to længder i siderne og trigrelationer af højre trekanter for variabel højden). nogen ukendte variabler (højde) tilbage til variablen (theta), som svarer til den eneste givne hastighed (d theta) / (dt)) Gør nogle substitutioner til en "main" formel (områdeformlen), så du kan forvente at bruge Den givne sats Differentier og brug den givne kurs for at f Læs mere »

Vi begynder dette problem ved at finde tangentpunktet. Stedfortræder til værdien 1 for x. x ^ 3 + y ^ 3 = 9 (1) ^ 3 + y ^ 3 = 9 1 + y ^ 3 = 9 y ^ 3 = 8 Ikke sikker på, hvordan man viser en kubet rod ved hjælp af vores matematiske notation her på socratic men husk at at øge en mængde til 1/3 strøm er ækvivalent. Hæv begge sider til 1/3 effekten (y ^ 3) ^ (1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 * 1/3) = 8 ^ (1/3) y ^ (3 / 3) = 8 ^ (1/3) y ^ (1) = 8 ^ (1/3) y = (2 ^ 3) ^ (1/3) y = 2 ^ (3 * 1/3) y = 2 ^ (3/3) y = 2 ^ (1) y = 2 Vi har lige fundet, at når x = 1, y = 2 Færdiggør d Læs mere »

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Lad, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Under anvendelse af Dele, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * tanu-log | sik |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * Tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Anden metode: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (4x) * x-int (1 / (1 + 16x ^ Læs mere »

Ved substitution og integration af dele, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Lad os se på nogle detaljer. int ln (2x + 1) dx ved substitutionen t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt ved integration af dele, lad os = ln t og dv = dt Rightarrow du = dt / t og v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C ved factoring ud t, = 1 / 2t (lnt-1) + C ved at sætte t = 2x + 1 tilbage, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Læs mere »

Vores mål er at reducere kraften i ln x, så integralet er nemmere at evaluere. Vi kan opnå dette ved hjælp af integration af dele. Husk IBP-formlen: int u dv = uv - int v du Nu vil vi lade u = (lnx) ^ 2 og dv = dx. Derfor er du = (2lnx) / x dx og v = x. Nu samler vi stykkerne sammen, vi får: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Dette nye integral ser meget bedre ud! Forenkler en smule, og bringer konstant ud foran, giver: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nu for at slippe af med dette næste integral, vil vi gøre en anden integration af dele, lad u = ln x og Læs mere »

Ved integration af dele, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Lad os se på nogle detaljer. Lad os = sin ^ {- 1} x og dv = dx. Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} og v = x Ved integration efter dele, int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx Lad u = 1-x ^ 2. Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = -1 / 2intu ^ {- 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C Derfor intint ^ sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C Læs mere »

Ved hjælp af integration ved dele, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Husk at integration ved dele anvender formlen: intu dv = uv - intv du Hvilket er baseret på produktreglen for derivater: uv = vdu + eks For at bruge denne formel skal vi bestemme hvilket udtryk der vil være dig, og hvilken vil være dv. En nyttig måde at finde ud af, hvilket udtryk der går, er ILATE-metoden. Inverse Trig Logaritmer Algebra Trig Exponentials Dette giver dig en prioriteret rækkefølge, hvilket udtryk der bruges til "u", så hvad der Læs mere »

Ved integration ved Dele, int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Lad os se på nogle detaljer. Lad os = lnx og dv = x ^ 5dx. Rightarrow du = {dx} / x og v = x ^ 6/6 Ved integration med Dele int udv = uv-int vdu, har vi int (lnx) cdot x ^ 5dx = (lnx) cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x ved at forenkle en bit, = x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx ved Power Rule, = x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C ved factoring ud x ^ 6 / 36, = x ^ 6/36 (6lnx-1) + C Læs mere »

Vi vil huske formlen for integration af dele, som er: int u dv = uv - int v du For at finde dette integreret med succes vil vi lade u = x og dv = cos 5x dx. Derfor er du = dx og v = 1/5 sin 5x. (v kan findes ved hjælp af en hurtig u-substitution) Grunden til, at jeg valgte x for værdien af dig, er, fordi jeg ved, at jeg senere vil ende med at integrere v multipliceret med u's derivat. Da derivatet af dig er kun 1, og da integrering af en trig-funktion i sig selv ikke gør det mere komplekst, har vi effektivt fjernet x fra integranden og behøver kun bekymre sig om sinusen nu. Så tilslutter vi IB Læs mere »

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Denne integrering vil kræve integration af dele. Husk på formlen: int u dv = uv - int v du Vi vil lade u = x og dv = e ^ (- x) dx. Derfor er du = dx. At finde v kræver en u-substitution; Jeg vil bruge bogstavet q i stedet for dig, da vi allerede bruger dig i integrationen med delformel. v = int e ^ (- x) dx lad q = -x. dermed dq = -dx Vi vil omskrive integralet og tilføje to negativer for at rumme dq: v = -int -e ^ (- x) dx Skrevet i forhold til q: v = -int e ^ (q) dq Derfor v = -e ^ (q) At erstatte tilbage til q giver os: v = Læs mere »

Vi vil bruge integration af dele. Husk IBPs formel, som er int u dv = uv - int v du Lad u = ln x og dv = x dx. Vi har valgt disse værdier, fordi vi ved, at derivatet af ln x er lig med 1 / x, hvilket betyder at i stedet for at integrere noget komplekst (en naturlig logaritme) vi nu ender med at integrere noget ret nemt. (et polynom) Således du = 1 / x dx og v = x ^ 2 / 2. Plugging i IBPs formel giver os: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx En x vil aflyse fra den nye integand: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx Løsningen kan nu nemt findes ved hjælp af strømreglen. G Læs mere »

= lx_ (h-> 0) (x + h) ^ 2 + 9 (x + h) - 3 - (x ^ 2 + 9x - 3)) / h = lim_ (h-> 0) + 2xh + h2 2 + 9x + 9h - 3 - x ^ 2 - 9x + 3) / h = lim_ (h-> 0) (annullér (x ^ 2) + 2xh + h ^ 2 + afbryd (9x) + 9h - annullere (3) - annullere (x ^ 2) - annullere (9x) + annullere (3)) / h = lim_ (h-> 0) (2xh + h ^ 2 + 9h) / h = lim_ 0) (h (2x + h + 9)) / h = lim_ (h-> 0) (Annuller (h) (2x + h + 9)) / Annuller (h) = Lim_ (h-> 0) 2x + 0 + 9 = 2x + 9 Læs mere »

0,02083 (reel værdi 0,0208008) Dette kan løses med formlen Taylor: f (a + x) = f (a) + xf '(a) + (x ^ 2/2) f' ' Hvis f (a) = a ^ (1/3) vil vi have: f '(a) = (1/3) a ^ (- 2/3) nu, hvis a = 0,008 derefter f (a) = 0,2 og f '(a) = (1/3) 0,008 ^ (- 2/3) = 25/3 Så hvis x = 0,001 derefter f (0,009) = f (0,008 + 0,001) ~~ f (0,008) + 0,001xxf' (0,008) = = 0,2 + 0,001 * 25/3 = 0,2083 Læs mere »

Se nedenfor. Så, f (x) = 1 / 2x - sinx, er en ret simpel funktion til at differentiere. Husk at d / dx (sinx) = cosx, d / dx (cosx) = -sinx og d / dx (kx) = k, for nogle k i RR. Derfor er f '(x) = 1/2 - cosx. Derfor er f '' (x) = sinx. Husk at hvis en kurve er konkave op, f '' (x)> 0, og hvis den er 'konkave ned', f '' (x) <0. Vi kan let løse disse ligninger ved hjælp af vores kendskab til grafen af y = sinx, som er positiv fra et 'lige' multipel af pi til et 'ulige' multipel og negativt fra et 'lige' multipel til et 'ulige' mange. De Læs mere »

Lad: a_n = 5 + 1 / n derefter for enhver m, n i NN med n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) som n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n og som 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Giv et rigtigt tal epsilon> 0, vælg derefter et helt tal N> 1 / epsilon. For et helt tal m, n> N har vi: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, der beviser Cauchys tilstand for konvergens af en sekvens. Læs mere »

Brug egenskaberne af den eksponentielle funktion til at bestemme N, såsom | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for hver m, n> N Definitionen af konvergensstilstande, at {a_n} konvergerer hvis: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon Så givet epsilon> 0 tager N> log_2 (1 / epsilon) og m, n> N med m <n Som m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 så | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1 - 2 ^ (mn)) Nu som 2 ^ x er altid positiv, (1-2) (mn)) <1, så 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) Og da 2 ^ ( Læs mere »

1 "Bemærk at:" farve (rød) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) "Så her har vi" lim_ {x-> pi / 2} sin )) / cos (x)) * Anvend nu regel de l 'Hôptial: "= lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) = cos (cos (pi / 2)) = cos (0) = 1 Læs mere »

F '(x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (cot (e ^ (4x))) ^ (- 1/2)) / 2 farve (hvid) (x)) = - (2e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x))) / sqrt (barneseng (e ^ (4x)) f (x) = sqrt farve (hvid) (f (x)) = sqrt (g (x)) f '(x) = 1/2 * (g (x)) ^ (- 1/2) * g' ) (f '(x)) = (g' (x) (g (x)) ^ (- 1/2)) / 2 g (x) = barneseng (e ^ (4x)) farve (hvid) (x)) = cot (h (x)) g '(x) = - h' (x) csc ^ 2 (h (x)) h (x) = e ^ x)) = e ^ (j (x)) h '(x) = j' (x) e ^ (j (x)) j (x) = 4x j ' 4e) (4x) g '(x) = - 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) f' (x) = (- 4e ^ (4x) csc ^ 2 (e ^ (4x)) (cot (e ^ (4x))) (1/2)) / 2 farve (hvi Læs mere »

Lim_ (x-> 0) (lncotx) ^ tanx = 1 lim_ (x-> 0) tanx = 0 lim_ (x-> 0 ^ +) cotx = + oo lim_ (x-> 0 ^ -) cotx = -oo lim_ (x -> + oo) ln (x) = oo oo ^ 0 = 1 siden a ^ 0 = 1, a! = 0 (vi siger et! = 0, da det bliver lidt kompliceret ellers, nogle sig det er 1, nogle siger 0, andre siger det er udefineret osv.) Læs mere »

Forholdet mellem radius, r, af vandets øvre overflade til vanddybden, w er en konstant afhængig af de samlede dimensioner af keglen r / w = 5/10 rarr r = w / 2 Keglens volumen af vand er givet ved formlen V (w, r) = pi / 3r ^ 2w eller, hvad angår just w for den givne situation V (w) = pi / (12) w3 (dV) / = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Vi fortælles at (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Når w = 6 er vanddybden ændres med en hastighed på (dw) / (dt) (6) = = (-12) / (pi * 36) = -1 / (3pi) Udtrykt m Læs mere »

Lad V være vandmængden i tanken, i cm ^ 3; lad h være dybden / højden af vandet, i cm; og lad r være radius af overflade af vandet (ovenpå), i cm. Da tanken er en inverteret kegle, er det også vandets masse. Da tanken har en højde på 6 m og en radius på toppen af 2 m, betyder lignende trekanter at frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 således at h = 3r. Volumenet af den inverterede kegle vand er så V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Differentier nu begge sider med hensyn til tid t (i minutter) for at få frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} ( Læs mere »

= (5) / (9 pi) ft / min For en given højde, h, af væske i cylinderen eller radiusen r, er volumenet V = pi r ^ 2 h Differentierende wrt tid punkt V = 2 pi r dot rh + pi r ^ 2 dot h men dot r = 0 så punkt V = pi r ^ 2 dot h dot h = prik V / (pi r ^ 2) = (5) / (pi (3 ^ 2)) = (5) / (9 pi) ft / min Læs mere »

40pi "cm" ^ 2 "/ min. Først skal vi begynde med en ligning, vi kender vedrørende et område af en cirkel, poolen og dens radius: A = pir ^ 2 Vi vil dog se, hvor hurtigt området puljen er stigende, hvilket lyder meget som sats ... hvilket lyder meget som et derivat. Hvis vi tager derivatet af A = pir ^ 2 med hensyn til tid, ser vi det: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Glem ikke, at kædelegemet gælder til højre side med r ^ 2 - dette svarer til implicit differentiering.) Så vi vil bestemme (dA) / dt. Spørgsmålet fortalte os, at (dr) / dt = 4 da den sagde "p Læs mere »

R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 Lad mig omsætte spørgsmålet, som jeg forstår det. Forudsat overfladen af dette objekt er 200pi, maksimere lydstyrken. Planlægning Ved at kende overfladearealet kan vi repræsentere en højde h som en funktion af radius r, så kan vi repræsentere volumen som en funktion af kun en parameter - radius r. Denne funktion skal maksimeres ved hjælp af r som parameter. Det giver værdien af r. Overflade indeholder: 4 vægge, der danner en sideflade af en parallelepiped med en omkreds af en base 6r og højden h, som har et samlet areal Læs mere »

Når flyet er 2mi væk fra radarstationen, er afstandens stigningshastighed cirka 433 mph. Følgende billede repræsenterer vores problem: P er flyets position R er radarens position V er punktet placeret lodret af radarstationen i flyets højde h er flyets højde d er afstanden mellem planet og radarstationen x er Afstanden mellem flyet og V-punktet Da flyet flyver vandret, kan vi konkludere, at PVR er en rigtig trekant. Derfor tillader den pythagoriske sætning os at vide, at d beregnes: d = sqrt (h ^ 2 + x ^ 2) Vi er interesserede i situationen, når d = 2mi, og da flyet flyver vandret, v Læs mere »

Lad os finde grænser ved uendelighed. lim_ {x til + infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} ved at dividere tælleren og nævneren med 2 ^ x = lim_ {x til + infty} {5/2 ^ x + 1 } / {1/2 ^ x-1} = {0 + 1} / {0-1} = - 1 og lim_ {x til -infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} = {5 + 0} / {1-0} = 5 Derfor er dens vandrette asymptoter y = -1 og y = 5 De ser sådan ud: Læs mere »

Se nedenunder. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) og k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) men k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) og k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) så k ^ 6 -2 ^ 6 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) eller {(k + 2 = 0) 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} derefter til sidst reelle værdier k = {-2,2} komplekse værdier k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} Læs mere »

Læs mere »

Vi har: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Trin 1 - Find de partielle derivater Vi beregner det partielle derivat af en funktion af to eller flere variabler ved at differentiere WRT en variabel, mens de andre variabler behandles som konstant. Således: De første derivater er: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1 x ^ 2 xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2 + Læs mere »

Dy / dx = (xcos (x) + sin (x) - 1) / (x + cos (x)) ^ 2 "Lad os først huske Quotient Rule:" qquad qquad qquad qquad qquad [f (x) / g (x)] ^ '= = {g (x) f' (x) - f (x) g '(x)} / {g (x) ^ 2} quad. "Vi får funktionen til at differentiere:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = {2 + sinx} / {x + cosx} quad. Brug kvotientreglen til at udlede følgende: y '= {[(x + cosx) (2 + sinx)'] - [(2 + sinx) (x + cosx) ']} / (x + cosx) ^ 2 y '= {[(x + cosx) (cosx)] - [(2 + sinx) (1 -sinx)]} / (x + cos x) ^ 2 multiplicere tælleren ud får du dette: y' = {xcosx + cos Læs mere »

Parametriske ligninger er nyttige, når en position af en genstand beskrives med hensyn til tid t. Lad os se på et par eksempler. Eksempel 1 (2-D) Hvis en partikel bevæger sig langs en cirkulær radiusbane r centreret ved (x_0, y_0), kan dens position ved tidspunkt t beskrives ved parametriske ligninger som: {(x (t) = x_0 + rcost ), (y (t) = y_0 + rsint):} Eksempel 2 (3-D) Hvis en partikel stiger langs en spiralbane med radius r centreret langs z-aksen, kan dens position ved tid t beskrives ved parametrisk ligninger som: {(x (t) = rcost), (y (t) = rsint), (z (t) = t):} Parametriske ligninger er nyttige i Læs mere »

Nyttige anvendelser inden for fysik og teknik. Fra en fysikers synspunkt er polære koordinater (r og theta) nyttige til beregning af bevægelsesligninger fra mange mekaniske systemer. Ofte har du objekter, der bevæger sig i cirkler, og deres dynamik kan bestemmes ved hjælp af teknikker kaldet Lagrangian og Hamiltonian af et system. Brug af polære koordinater til fordel for kartesiske koordinater vil forenkle tingene meget godt. Derfor vil dine afledte ligninger være pæne og forståelige. Ud over mekaniske systemer kan du anvende polære koordinater og udvide det til en 3D (sfæ Læs mere »

En separerbar ligning ser typisk ud: {dy} / {dx} = {g (x)} / {f (y)}. Ved at multiplicere med dx og ved f (y) for at adskille x'er og y'er, Rightarrow f (y) dy = g (x) dx Ved at integrere begge sider, Rightarrow int f (y) dy = int g (x) dx, hvilket giver os løsningen udtrykt implicit: Rightarrow F (y) = G (x) + C, hvor F og G er antiderivativer af henholdsvis f og g. For flere detaljer, se venligst denne video: Læs mere »

Grænsen er 1. Lim_ (x -> 0) (3x) / (tan3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / ((sin3x) / (cos3x)) = Lim_ (x -> 0) (3xcos3x ) / (sin3x) = Lim_ (x -> 0) (3x) / (sin3x) .cos3x = Lim_ (x -> 0) farve (rød) (3x) / (sin3x)). cos3x = Lim_ > 0) cos3x = Lim_ (x -> 0) cos (3 * 0) = Cos (0) = 1 Husk at: Lim_ (x -> 0) farve (rød) (3x) / (sin3x)) = 1 og Lim_ (x -> 0) farve (rød) ((sin3x) / (3x)) = 1 Læs mere »

Dy / dx = (e ^ y-ye ^ x) / (e ^ x-xe ^ y) Først tager vi d / dx af hvert udtryk. d / dx [j ^ x] = d / dx [xe ^ y] y / dx [ex] + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ yd / dx [ x] / xx / yx = xd / dx [e ^ y] + e ^ y Ved hjælp af kædelegemet ved vi, at: d / dx = d / dy * dy / dx ye ^ x + dy / dxe ^ xd / dy [y] = dy / dxxd / dy [e ^ y] + e ^ y ye ^ x + dy / dxe ^ x = dy / dxxe ^ y + . dy / dxe ^ x-dy / dxxe ^ y = e ^ y-ye ^ x dy / dx (e ^ x-xe ^ y) = e ^ y-ye ^ x dy / dx = x) / (e ^ x-XE ^ y) Læs mere »

Området er = (32/3) u ^ 2 og volumenet er = (512 / 15pi) u ^ 3 Start med at finde opfanget med x-aksen y = 4x-x ^ 2 = x (4-x) = 0 Derfor er x = 0 og x = 4 Området er dA = ydx A = int_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64/3 -0 = 32 / 3u ^ 2 Volumenet er dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4 (4x-x ^ 2) ^ 2dx = piint_0 ^ 4 (16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4) dx = pi [16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = pi (1024 / 3-512 + 1024 / 5-0) = pi (5120 / 15-7680 / 15 + 3072/15) = pi (512/15) Læs mere »

Fx (x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + (x ^ 3sinx) / (2sqrt (x-2)) + x ^ 3sqrt (x-2) cosx Hvis f (x) = g (x) h (x) j (x), så f '(x) = g' (x) h (x) j (x) + g (x) h '(x) j (x) + g (x) h ) x (x) g (x) = x ^ 3 g '(x) = 3x ^ 2 h (x) = sqrt (x-2) = (x-2) ^ (1/2) h' ) = 1/2 * (x-2) ^ (- 1/2) * d / dx [x-2] farve (hvid) (h '(x)) = (x-2) ) / 2 * 1 farve (hvid) (h '(x)) = (x-2) ^ (- 1/2) / 2 farve (hvid) (h' (x)) = 1 / (2sqrt 2)) j (x) = sinx j '(x) = cosx f' (x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + x ^ 3 1 / (2sqrt (x-2)) sinx + x ^ 3sqrt (x-2) cosx f '(x) = 3x ^ 2sqrt (x-2) sinx + (x ^ 3sinx) / (2sq Læs mere »

Forøgelse For at finde ud af, om en funktion f (x) stiger eller dør ved et punkt f (a), tager vi derivatet f '(x) og finder f' (a) / Hvis f '(a)> 0 er det stigende Hvis f '(a) = 0 er det en bøjning Hvis f' (a) <0 er det faldende f (x) = cosx + sinx f '(x) = - sinx + cosx f' (pi / 6) = cos (pi / 6) -in (pi / 6) = (- 1 + sqrt (3)) / 2 f '(pi / 6)> 0, så det øges ved f (pi / 6) Læs mere »

På [0,3] er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 (ved x = 1). For at finde den absolutte ekstrem af en (kontinuerlig) funktion i et lukket interval, ved vi, at ekstremmen skal forekomme ved enten crtiske numre i intervallet eller ved intervallets endepunkter. f (x) = x ^ 3-3x + 1 har derivat f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 er aldrig udefineret og 3x ^ 2-3 = 0 ved x = + - 1. Da -1 ikke ligger i intervallet [0,3], kasserer vi det. Det eneste kritiske tal, der skal overvejes, er 1. f (0) = 1 f (1) = -1 og f (3) = 19. Så er maksimumet 19 (ved x = 3) og minimumet er -1 x = 1). Læs mere »

Der er ingen globale maksima. Den globale minima er -3 og forekommer ved x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) 2 x 6 x 6, hvor x 1 f '(x) = 2x - 6 Den absolutte ekstrem forekommer på et slutpunkt eller ved kritisk nummer. Endpoints: 1 & 4: x = 1 f (1): "udefineret" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Kritiske punkter: f ' = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Ved x = 3 f (3) = -3 Der er ingen globale maksima. Der er ingen globale minima er -3 og forekommer ved x = 3. Læs mere »

X = 0 er maksimum for funktionen. f (x) = 1 / (1 + x²) Lad os søge f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Så vi kan se, at der er en unik løsning, f ' (0) = 0 Og også at denne løsning er højst for funktionen, fordi lim_ (x til ± oo) f (x) = 0 og f (0) = 1 0 / her er vores svar! Læs mere »

Absolut maks er ved f (.4636) ca. 2.2361 Absolut min er ved f (pi / 2) = 1 f (x) = 2cosx + sinx Find f '(x) ved at differentiere f (x) f' (x) = - 2sinx + cosx Find nogen relativ ekstrem ved at indstille f '(x) lig med 0: 0 = -2sinx + cosx 2sinx = cosx På det givne interval er det eneste sted, som f' (x) ændrer tegn (ved hjælp af en lommeregner) x = .4636476 Prøv nu x-værdierne ved at sætte dem i f (x), og glem ikke at inkludere grænserne x = 0 og x = pi / 2 f (0) = 2 farve (blå) (f (. 4636) ca. 2.236068) farve (rød) (f (pi / 2) = 1) Det absolutte maksimum for f ( Læs mere »

-3 (forekommer ved x = -3) og -28 (forekommer ved x = -2) Absolut ekstrem af et lukket interval forekommer ved intervallets endepunkter eller ved f '(x) = 0. Det betyder at vi bliver nødt til at indstille derivatet til 0 og se hvilke x-værdier der får os, og vi bliver nødt til at bruge x = -3 og x = -1 (fordi disse er slutpunktene). Så begynder man at tage derivatet: f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 f '(x) = 4x ^ 3-16x Indstil det lig med 0 og løse: 0 = 4x ^ 3-16x 0 = x ^ 3-4x 0 = x (x ^ 2-4) x = 0 og x ^ 2-4 = 0 Således er opløsningerne 0,2 og -2. Vi slippe øjeblikkeligt af 0 og Læs mere »

6 og -2 Absolut ekstrem (min og max. Værdier for en funktion over et interval) kan findes ved at evaluere intervallets endepunkter og de punkter, hvor derivatet af funktionen er lig med 0. Vi begynder ved at evaluere endepunkterne af intervallet i vores tilfælde betyder det at finde f (0) og f (4): f (0) = 2 (0) ^ 2-8 (0) + 6 = 6f (4) = 2 (4) ^ 2-8 (4) + 6 = 6 Bemærk at f (0) = f (4) = 6. Find derefter derivatet: f '(x) = 4x-8-> ved hjælp af kraftreglen og find de kritiske punkter; dvs. de værdier for hvilke f '(x) = 0: 0 = 4x-8 x = 2 Evaluer de kritiske punkter (vi har kun en, x = 2): f Læs mere »

F (x) er et absolut minimum på 2 til x = 0 f (x) = 2 + x ^ 2 f (x) er en parabola med et enkelt absolut minimum, hvor f '(x) = 0f' (x) = 0 + 2x = 0 -> x = 0: .f_min (x) = f (0) = 2 Dette kan ses på grafen af f (x) nedenfor: graf {2 + x ^ 2 [-9,19, 8,59, -0,97, 7,926]} Læs mere »

I [-8, 8] er det absolutte minimum 0 ved O. x = + -8 er de vertikale asymptoter. Så der er intet absolut maksimum. Selvfølgelig | f | til oo, som x til + -8. Den første er en samlet graf. Grafen er symmetrisk omkring O. Den anden er for de givne grænser x i [-8, 8] graf {((2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) -y) (y-2x) = 0 [-160, 160, -80, 80]} graf {(2x ^ 3-x) / (x ^ 2-64) [-10, 10, -5, 5]} Ved faktisk division, y = f x) = 2x +127/2 (1 / (x + 8) + 1 / (x-8)), der afslører den skrånende asymptote y = 2x og de vertikale asymptoter x = + -8. Så der er ikke noget absolut maksimum, som | y | til oo, som x Læs mere »

Absolut max: (pi / 4, pi / 4) absolut min: (0, 0) Givet: f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x i [0, pi / 4] Find første derivat ved hjælp af produktreglen to gange . Produktregel: (uv) '= uv' + v u 'Lad u = 2x; "" u '= 2 Lad v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x f' (x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + ... For anden halvdel af ligningen: Lad u = x; "" u '= 1 Lad v = cos (2x); (2x)) 2 = -2sin (2x) f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) ) Forenkle: f '(x) = annullere (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x annullere (-2x sin (2x)) + co Læs mere »

Det absolutte maksimum for f (x) er f (1) = 6 og det absolutte minimum er f (0) = 0. For at finde den absolutte ekstrem af en funktion, skal vi finde sine kritiske punkter. Dette er punkterne i en funktion, hvor dens derivat er enten nul eller ikke eksisterer. Afledt af funktionen er f '(x) = 3x ^ (- 2/3) -3. Denne funktion (derivatet) findes overalt. Lad os finde hvor det er nul: 0 = 3x ^ (- 2/3) -3rarr3 = 3x ^ (- 2/3) rarrx ^ (- 2/3) = 1rarrx = 1 Vi skal også overveje funktionspunkterne for funktionen når man søger absolut ekstreme: så er de tre muligheder for ekstremma f (1), f (0) og f (5). Ved Læs mere »

Det absolutte minimum er (9 * root3 (9)) / 26 = 0,7200290. . . som opstår når x = 9. Det absolutte maksimum er (9 * root3 (2)) / 11 = 1.030844495. . . som opstår når x = 2. Den absolutte ekstrem af en funktion er de største og mindste y-værdier af funktionen på et givet domæne. Dette domæne kan gives til os (som i dette problem), eller det kan være domænet for selve funktionen. Selv når vi får domænet, skal vi overveje domænet af selve funktionen, hvis det udelukker værdier af det domæne, vi får. f (x) indeholder eksponenten 1/3, som Læs mere »

Et uendeligt antal relativ ekstrem eksisterer på x i [-1 / pi, 1 / pi] er ved f (x) = + - 1 Lad os først slutte intervallets endepunkter (-1 / pi, 1 / pi) til funktionen til at se endeadfærden. f (-1 / pi) = - 1 f (1 / pi) = - 1 Herefter bestemmer vi de kritiske punkter ved at indstille derivatet til nul. f '(x) = 1 / xcos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) synd (1 / x) -in (1 / x) 1 / xcos (1 / x) + 1 / ) sin (1 / x) -in (1 / x) = 0 Desværre, når du graverer denne sidste ligning, får du følgende Fordi grafen af derivatet har et uendeligt antal rødder, har den oprindelige funktion et uendeli Læs mere »