Antag, at F er en 5xx5 matrix, hvis kolonnerum ikke er lig med RR ^ 5 (5 dimensioner). Hvad kan man sige om null F?

Svar:

Dimensionen af # "Nul" (F) # er # 5- "rang" (F)> 0 #

Forklaring:

EN # 5xx5 # matrix # F # vil kortlægge # RR ^ 5 # til en lineær delrum, isomorf til # RR ^ n # for nogle #n i {0, 1, 2, 3, 4, 5} #.

Da vi får at vide, at denne delrum ikke er helt af # RR ^ 5 #, det er isomorphic til # RR ^ n # for et helt tal # N # i området #0#-#4#, hvor # N # er rangen af # F #. Et sådant underrum er a #4# dimensionelle hyperplane, #3# dimensionelle hyperplane, #2# dimensionelle plan, #1# dimensionel linje eller #0# dimensionelle punkt.

Du kan vælge # N # af kolonnevektorer, der spænder over dette underrum. Det er så muligt at konstruere # 5-n # nye kolonnevektorer, som sammen med # N # oprindelige spænder hele # RR ^ 5 #.

Så den # 5-n # Nye kolonnevektorer spænder over nullrummet for # F #.

Med andre ord, dimensionen af nullrummet for # F # er # 5- "rang" (F) #.