Svar:
Pointen # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) ca. (1.26694,1.16437) er et lokalt minimumspunkt.
Forklaring:
De første ordens partielle derivater er # (delvist f) / (delvis x) = y-3x ^ {- 4} # og # (delvist f) / (delvist y) = x-2y ^ {- 3} #. Indstilling af disse begge lig med nul resulterer i systemet # Y = 3 / x ^ (4) # og # X = 2 / y ^ {3} #. Subtituting den første ligning i den anden giver # X = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Siden #x! = 0 # inden for området # F #, dette resulterer i # X ^ {11} = 27/2 # og # X = (27/2) ^ {1/11} # så det # Y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
De anden ordens partielle derivater er # (delvist ^ {2} f) / (delvis x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (delvist ^ {2} f) / (delvis y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, og # (delvist ^ {2} f) / (delvist x delvist y) = (delvist ^ {2} f) / (delvist y delvist x) = 1 #.
Diskriminanten er derfor # D = (delvist ^ {2} f) / (delvist x ^ {2}) * (delvist ^ {2} f) / (delvist y ^ {2}) - ((delvist ^ {2} f) / delvist x delvist y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Dette er positivt på det kritiske punkt.
Da de rene (ikke-blandede) andenordede partielle derivater også er positive, følger det, at det kritiske punkt er et lokalt minimum.
