Svar:
# {: ("Kritisk punkt", "Konklusion"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sadlen"), ((-1,2) "), ((-5 / 3,0)," max "):} #
Forklaring:
Teorien om at identificere ekstremiteten af
- Løs samtidigt de kritiske ligninger
# (delvist f) / (delvis x) = (delvist f) / (delvis y) = 0 # (dvs.# Z_x = z_y = 0 # ) - Vurdere
#f_ (x x), f_ (yy) og f_ (xy) (= f_ (yx)) # på hvert af disse kritiske punkter. Derfor evaluere# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # på hvert af disse punkter - Bestem ekstrems natur
# {: (Delta> 0, "Der er minimum hvis" f_ (xx) <0), ("og et maksimum hvis" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "der er et sadelpunkt"), (Delta = 0, "Yderligere analyse er nødvendig"):} #
Så vi har:
# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #
Lad os finde de første partielle derivater:
# (delvist f) / (delvist x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #
# (delvist f) / (delvis y) = 2xy + 2y #
Så vores kritiske ligninger er:
# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #
# 2xy + 2y = 0 #
Fra den anden ligning har vi:
# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #
Subs
# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #
Subs
# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #
Og så har vi fire kritiske punkter med koordinater;
# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #
Så lad os nu se på de andre partielle derivater, så vi kan bestemme karakteren af de kritiske punkter:
# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = 12x + 10 #
# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = 2x + 2 #
# (delvist ^ 2f) / (delvist x delvist y) = 2y (= (delvist ^ 2f) / (delvis y delvist x)) #
Og vi skal beregne:
(Delvist ^ 2f) / (delvist ^ 2) - ((delvist ^ 2f) / (delvis x delvist y)) ^ 2 #
på hvert kritisk punkt. De anden partielle afledte værdier,
# (: ("Critical Point", (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2), (partial ^ 2f) / (partial x partial y) "Konklusion"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, 0, "sadel"), ((-1,2), 2,0,4, 0, "sadle"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #
Vi kan se disse kritiske punkter, hvis vi ser på et 3D-plot:
