Hvorfor kvadrering af begge sider af en radikal ligning er en irreversibel operation?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Givet en ligning til løsning af formularen:

# "venstre hånd udtryk" = "højre hånd udtryk" #

Vi kan forsøge at forenkle problemet ved at anvende den samme funktion #F (x) # til begge sider for at få:

#f ("venstre hånd udtryk") = f ("højre hånd udtryk") #

Enhver løsning af den oprindelige ligning vil være en løsning af denne nye ligning.

Bemærk dog, at enhver løsning af den nye ligning måske eller måske ikke er en løsning af den oprindelige.

Hvis #F (x) # er en til en - f.eks. multiplikation med en ikke-nul konstant, cubing, tilføjelse eller subtraktion af det samme fra begge sider - så vil løsninger af den nye ligning være løsninger af originalen.

I tilfælde af #f (x) = x ^ 2 #, vi har en funktion, der ikke er en til en. For eksempel #f (-x) = f (x) #. Så løsninger af den nye ligning er måske ikke løsninger af den oprindelige.

For eksempel gives:

#sqrt (2x + 1) = -sqrt (x + 3) #

Vi kan firkantede begge sider af ligningen for at få:

# 2x + 1 = x + 3 #

Denne nye ligning har løsning # X = 2 #, men det er ikke en løsning af den oprindelige ligning.