Hvad er multiplikationen af den reelle rod af en ligning, der krydser / rører x-akse en gang?

Svar:

Et par observationer …

Forklaring:

Noter det #f (x) = x ^ 3 # har egenskaberne:

• #F (x) # er af grad #3#

• Den eneste reelle værdi af #x# for hvilket #f (x) = 0 # er # X = 0 #

Disse to egenskaber alene er ikke tilstrækkelige til at bestemme, at nul ved # X = 0 # er af multiplicitet #3#.

For eksempel overveje:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Noter det:

• #g (x) # er af grad #3#

• Den eneste reelle værdi af #x# for hvilket #g (x) = 0 # er # X = 0 #

Men multiplen af nul på #g (x) # på # X = 0 # er #1#.

Nogle ting vi kan sige:

• Et polynom af grad #n> 0 # har nøjagtigt # N # komplekse (muligvis reelle) nuller tæller multiplicitet. Dette er en konsekvens af Algebras grundlæggende sætning.

• #f (x) = 0 # kun når # X = 0 #, men det er af grad #3#, det har også #3# nuller tæller multiplicitet.

• Derfor er det nul ved # X = 0 # skal være af multiplicitet #3#.

Hvorfor er det samme ikke rigtigt #g (x) #?

Det er af grad #3#, så har tre nuller, men to af dem er ikke-reelle komplekse nuller, navn # + - i #.

En anden måde at se på dette er at observere det # x = en # er en nul på #F (x) # hvis og kun hvis # (X-a) # er en faktor.

Vi finder:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Det er: # X = 0 # er et nul #3# gange over.