Hvordan skriver du et polynom med funktion af minimumsgrad i standardform med virkelige koefficienter, hvis nuller inkluderer -3,4 og 2-i?

Svar:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # med #aq i RR #.

Forklaring:

Lade # P # vær det polynomiske du taler om. jeg går ud fra #P! = 0 # eller det ville være trivielt.

P har reelle koefficienter, så #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Det betyder, at der er en anden rod for P, #bar (2-i) = 2 + i #, derfor denne formular for # P #:

(X-2) i (x-2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # med #a_j i NN #, #Q i RR X # og #a i RR # fordi vi vil have det # P # at have reelle koefficienter.

Vi ønsker graden af # P # at være så lille som muligt. Hvis (X-2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # derefter #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sum (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # så #deg (Q)> = 0 #. Hvis vi vil # P # at have den mindste grad muligt, da #deg (Q) = 0 # (# Q # er bare et rigtigt tal # Q #), derfor #deg (P) = deg (R) # og her kan vi endda sige det #P = R #. #deg (P) # vil være så lille som muligt, hvis hver #a_j = 0 #. Så #deg (P) = 4 #.

Så for nu, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #. Lad os udvikle det.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) i RR X #. Så dette udtryk er det bedste # P # vi kan finde med disse betingelser!