Få et kvadratisk polynom med følgende betingelser ?? 1. Summen af nuller = 1/3, produktet af nuller = 1/2

Svar:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Forklaring:

Den kvadratiske formel er #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Summen af to rødder:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / en #

# -B / a = 1/3 #

# B = -a / 3 #

Produkt af to rødder:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# C / a = 1/2 #

# C = a / 2 #

Vi har # Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Bevis:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# X = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Svar:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Forklaring:

Hvis vi har en generel kvadratisk ligning:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

Og vi angiver roden af ligningen ved # Alfa # og # Beta #, så har vi også:

# (x-alpha) (x-beta) = 0 iff x ^ 2 - (alfa + beta) x + alpha beta = 0 #

Hvilket giver os de godt studerede egenskaber:

# {: ("sum af rødder", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt af rødder", = alfa beta, = c / a)

Således har vi:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alpha beta, = c / a, = 1/2):}

Så den søgte ligning er:

# x ^ 2 - "(summen af rødder)" x + "(produkt af rødder)" = 0 #

dvs.:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

Og (eventuelt) for at fjerne fraktionskoefficienterne multipliceres vi med #6# giver:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #