Venligst løse dette? hvilken indstilling er korrekt?

Dette ses let som ikke gøres ved elementære midler, så jeg har lige løst det numerisk og fik:

Jeg vurderede integralet for #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Dengang nåede det tydeligt #0.5#.

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

(n + 1)) (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

(n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

eller

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Nu antages det at et af svarene er sande, synes det mest naturlige at være den fjerde 4)

BEMÆRK

til #x i 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Svar:

#1/2#

Forklaring:

Som det allerede er vist i en tidligere løsning, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

eksisterer og er afgrænset:

# 1/2 le I_n <1 #

Nu giver integration af dele udbytte

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n gange (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Nu siden # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # i #(0,1)#

# (N + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Siden #lim_ (n til oo) I_n # eksisterer, vi har

#lim_ (n til oo) J_n = lim_ (n til oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n til oo) 2 / (n + 2) gange lim_ (n til oo) I_ (n + 2) = 0 #

Derfor

# lim_ (n til oo) I_n = 1/2 #