Hvad er ekstremiteten af f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 på intervallet [-1,3]?

Svar:

Vi har en minima på # X = 0 # og et bøjningspunkt på # X = 3 #

Forklaring:

En maxima er et højdepunkt, hvor en funktion stiger og derefter falder igen. Som sådan vil tangens hældning eller værdien af derivatet være nul.

Da tangenterne til venstre for maksima vil blive skrånende opad og derefter fladere og derefter skrånende nedad, vil tangens hældning løbende falde, dvs. værdien af anden derivat ville være negativ.

En minima er på den anden side et lavt punkt, hvor en funktion falder og derefter stiger igen. Som sådan vil tangenten eller værdien af derivat ved minima også være nul.

Men som tangenterne til venstre for minima vil skrånende nedad og derefter fladere og derefter skrånende opad, vil tangens hældning stige konstant, eller værdien af andet derivat ville være positiv.

Hvis andet derivat er nul har vi et punkt på

Disse maksima og minima kan imidlertid enten være universelle, dvs. maksima eller minima for hele området eller kan være lokaliserede, dvs. maksima eller minima i et begrænset interval.

Lad os se dette med henvisning til den funktion, der er beskrevet i spørgsmålet, og lad os først skelne mellem dem #F (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Dens første derivat er givet af #F '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Dette ville være nul for # X ^ 2-9 = 0 # eller #x = + - 3 # eller #0#. Af disse kun #{0,3}# er inden for området #-1,3}#.

Derfor forekommer maksima eller minima på punkter # X = 0 # og # X = 3 #.

For at finde ud af, om det er maxima eller minima, lad os se på andet differential, som er #F '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # og dermed mens

på # X = 0 #, #F '' (x) = 486 # og er positiv

på # X = 3 #, #F '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # og er et bøjningspunkt.

Derfor har vi en lokal minima på # X = 0 # og et bøjningspunkt på # X = 3 #

. graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Svar:

Det absolutte minimum er #(-9)^3+10# (som forekommer hos #0#), er det absolutte maksimum på intervallet #10#, (som forekommer kl #3#)

Forklaring:

Spørgsmålet angiver ikke, om vi skal finde relative eller absolutte extrema, så vi finder begge.

Relativ ekstrem kan kun forekomme ved kritiske tal. Kritiske tal er værdier af #x# der er inden for området # F # og hvoraf enten #F '(x) = 0 # eller #f '(x) findes ikke. (Fermat's sætning)

Absolut ekstrem på et lukket interval kan forekomme ved kritiske tal i intervallet eller ved intervallets enpoints.

Fordi funktionen spurgt om her er kontinuerlig på #-1,3#, den ekstreme værdi sætning forsikrer os om det # F # skal have både et absolut minimum og et absolut maksimum på intervallet.

Kritiske tal og relativ ekstrem.

Til #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, vi finder #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Klart, # F '# mangler aldrig at eksistere, så der er ingen kritiske tal af den slags.

Løsning # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # giver løsninger #-3#, #0#, og #3#.

#-3# er ikke inden for dette problem, #-1,3# så vi behøver kun check #F (0) # og #F (3) #

Til #x <0 #, vi har #f '(x) <0 # og

til #x> 0 #, vi har #f '(x)> 0 #.

Så ved den første afledte test, #F (0) # er et relativt minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Det andet kritiske nummer i intervallet er #3#. Hvis vi ignorerer domænebegrænsningen, finder vi det #f '(x)> 0 # for alle #x# nær ved #3#. Så øges funktionen med små åbne intervaller, der indeholder #3#. Derfor, hvis vi stopper på #3# vi har ramt det højeste punkt i domænet.

Der er ikke universel aftale om at sige det #F (3) = 10 # er et relativ maksimum for denne funktion på #-1,3#.

Nogle kræver værdi på begge sider at være mindre, andre kræver værdier i domænet på begge sider for at være mindre.

Absolut Extrema

Situationen for absolut ekstrem på et lukket interval # A, b # er meget enklere.

Find kritiske tal i det lukkede interval. Ring til # c_1, c_2 # og så videre.

Beregn værdierne #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # og så videre. Den største værdi er den absolutte maixmum på intervallet, og den mindste værdi er det absolutte minimum på intervallet.

I dette spørgsmål beregner vi #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # og #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimumet er #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # og

maksimum er #f (-3) = 10 #.