Ved hjælp af definitionen af konvergens, hvordan viser du at sekvensen {5+ (1 / n)} konvergerer fra n = 1 til uendelig?

Lade:

#a_n = 5 + 1 / n #

så for nogen # m, n i NN # med #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

som #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

og som # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Givet noget reelt tal #epsilon> 0 #, vælg derefter et helt tal #N> 1 / epsilon #.

For alle heltal # m, n> N # vi har:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

som viser Cauchys tilstand for konvergens af en sekvens.