Lad G være en gruppe og H G.Prøv at den eneste rigtige coset af H i G, der er en subring af G, er H selv.?

Svar:

Forudsat spørgsmålet (som afklaret af kommentarer) er:

Lade # G # være en gruppe og #H leq G #. Bevis at den eneste rigtige koset af # H # i # G # det er en undergruppe af # G # er # H # sig selv.

Forklaring:

Lade # G # være en gruppe og #H leq G #. For et element #g i G #, den rigtige coset af # H # i # G # er defineret som:

# => Hg = {hg: h i H} #

Lad os antage det #Hg leq G #. Derefter identitetselementet #e i Hg #. Det ved vi dog nødvendigvis #e i H #.

Siden # H # er en rigtig coset og to rigtige cosets skal enten være identiske eller uensartede, vi kan konkludere #H = Hg #

=================================================

Hvis dette ikke er klart, lad os prøve et bevis, der eliminerer symboler.

Lade # G # vær en gruppe og lad # H # være en undergruppe af # G #. For et element # G # tilhører # G #, opkald # Hg # den rigtige coset af # H # i # G #.

Lad os antage, at den rigtige coset # Hg # er en undergruppe af # G #. Derefter identitetselementet # E # tilhører # Hg #. Men vi ved allerede, at identitetselementet # E # tilhører # H #.

To rigtige cosets skal enten være identiske eller uensartede. Siden # H # er en ret coset, # Hg # er en rigtig coset, og begge indeholder # E #, de kan ikke være uensartede. derfor # H # og # Hg # skal være identisk, eller #H = Hg #