Lad V = R3 og W = {(x, y, z) x + y + z = 0} være et underrum af V. Hvilke af de følgende vektorer er i samme coset af W i V? (I) (1,3,2) og (2,2,2). (Ii) (1,1,1) og (3,3,3).

Svar:

# #

# mbox {i}} (1,3,2) mbox {og} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {hører til samme coset af} W. #

# mbox {ii}} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {hører ikke til samme coset af} W. #

Forklaring:

# #

# mbox {1) Bemærk, at ved det givne på W, mbox {vi kan beskrive} mbox {elementerne i} W mbox {som de vektorer af} V mbox {hvor} mbox {summen af koordinaterne er} 0. #

# #

# mbox {2} Husk nu at:} #

# mbox {to vektorer tilhører samme coset af et underrum}

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {deres forskel tilhører selve underrummet}. #

# #

# mbox {3) Således for at bestemme medlemskab i samme coset af} W, mbox {det er nødvendigt og tilstrækkeligt til at bestemme, om} mbox {forskellen mellem disse vektorer tilhører} W: #

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {same coset af} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} in W. #

# #

# mbox {Dermed af beskrivelsen af} W mbox {i (1) ovenfor har vi:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} i mbox {same coset af} W quad iff quad mbox {summen af koordinaterne for} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {Det er et spørgsmål om denne simple beregning.} #

# #

# 4) mbox {Fremgang med de to givne vektorer, og} mbox {udfører denne beregning på hvert par finder vi: #

# quad mbox {i}} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {og så} #

# qquad qquad mbox {summen af koordinaterne for} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Derfor:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {og} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {hører til samme coset af} W. #

# #

# quad mbox {ii}} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {og så} #

# qquad qquad mbox {summen af koordinaterne for} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Derfor:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {og} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {hører ikke til samme coset af} W. #