Svar:
Se forklaring …
Forklaring:
Lade #t = a_ (cf) (x; b) #
Derefter:
(x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x) + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
Med andre ord, # T # er et fast punkt i kortlægningen:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Bemærk at i sig selv # T # være et fast punkt på #F (t) # er ikke tilstrækkeligt til at bevise det #t = a_ (cf) (x; b) #. Der kan være ustabile og stabile faste punkter.
For eksempel, #2016^(1/2016)# er et fast punkt på #x -> x ^ x #, men er ikke en løsning af # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Der er ingen løsning).
Lad os dog overveje #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # og #t = 1.880789470 #
Derefter:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #
# ~~ e ^ (0,1 +,5316916199) #
# = E ^,6316916199 #
# ~ ~ 1.880789471 ~~ t #
Så denne værdi af # T # ligger meget tæt på et fast punkt på #F_ (a, b, x) #
For at bevise at det er stabilt, overvej derivatet nær # T #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0,1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s)
Så finder vi:
(T, 1, 1, t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0,5316916199 #
Da dette er negativt og af absolut værdi mindre end #1#, det faste punkt på # T # er stabil.
Bemærk også, at for enhver ikke-nul reel værdi af # S # vi har:
#F '_ (e, 1,0,1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #
Det er #F_ (e, 1,0.1) (s) # er strenge monotont faldende.
Derfor # T # er det unikke stabile faste punkt.
Svar:
Kontraktiv adfærd.
Forklaring:
Med #a = e # og #x = x_0 # iterationen følger som
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # og også
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Lad os undersøge betingelserne for en sammentrækning i iterationsoperatøren.
Undergrave begge sider
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}})
men i første tilnærmelse
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) {k-1}) + 0 ((y_ {k-1}) ^ 2)
eller
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} ca. -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 y_k-y_ {k-1}) #
At have en sammentrækning, vi har brug for
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Dette opnås, hvis
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Antaget #b> 0 # og # k = 1 # vi har.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Så givet # X_0 # og # B # dette forhold tillader os at finde den første iteration under kontraktiv adfærd.
