Hvad er længden af stigen, hvis en stige med længde L bæres vandret rundt om et hjørne fra en hal 3 meter bred i en hal 4 meter bred?

Overvej et linjesegment, der kører fra # (X, 0) # til # (0, y) # gennem det indre hjørne ved #(4,3)#.

Minimumslængden af dette linjesegment er den maksimale længde af stigen, der kan manøvreres rundt om dette hjørne.

Antag at #x# er forbi #(4,0)# af en vis skaleringsfaktor, # S #, af 4, så

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

pas på # (1 + s) # vises senere som en værdi, der skal faktureres ud af noget.

Ved lignende trekanter kan vi se det

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Ved Pythagoras sætning kan vi udtrykke kvadratet af længden af linjesegmentet som en funktion af # S #

L2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalt ville vi tage derivatet af L (s) for at finde minimumet, men i dette tilfælde er det lettere at tage derivatet af # L ^ 2 (s) #.

(Bemærk at hvis #L (s) # er et minimum som # S = s_0 #, derefter # L ^ 2 (s) # vil også være et minimum på # S = s_0 #.)

Tager den første afledte af # L ^ 2 (s) # og sætter det til nul får vi:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2-2s) = 0 #

Multiplicere med # s ^ 3 # og derefter factoring ud # 2 (1 + s) #

tillader os at løse for # S #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Plugging denne værdi tilbage i ligningen for # L ^ 2 (s) # og tager kvadratroden (jeg brugte et regneark) får vi

den maksimale stige længde # = 9,87 fod # (Ca.).