Hvordan løser jeg denne ligning?

Svar:

# "Se forklaring" #

Forklaring:

# "Anvend først rationelle rødt sætning for at finde rationelle rødder." #

# "Vi finder" x = 1 "som rationel rod." #

# "Så" (x-1) "er en faktor. Vi deler den faktor væk:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Vi har en resterende kubisk ligning, der ikke har rationelle rødder." #

# "Vi kan løse det med substitutionen af Vieta-metoden." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Substitute" x = y + 2/9 ". Så får vi" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Substitute" y = (sqrt (22) / 9) z ".Derefter får vi" #

# z ^ 3 - 3 z - 5,91147441 = 0 #

# "Substitute" z = t + 1 / t ". Så får vi" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5,91147441 = 0 #

# "Substituting" u = t ^ 3 "giver den kvadratiske ligning:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "En rod af denne kvadratiske ligning er u = 5.73717252." #

# "Udskiftning af variablerne tilbage giver:" #

#t = rod (3) (u) = 1,79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "De andre rødder er komplekse:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(De kan findes ved at dele væk" (x-1.44631151)) #

Svar:

Det rationelle reelle nul er # X = 1 #.

Så er der en irrationel reel nul:

# x_1 = 1/9 (2 + rod (3) (305 + 27sqrt (113)) + rod (3) (305-27sqrt (113))) #

og relaterede ikke-reelle komplekse nuller.

Forklaring:

Givet:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Bemærk at summen af koefficienterne er #0#.

Det er: #3-5+2 = 0#

Derfor kan vi udlede det # X = 1 # er en nul og # (X-1) # en faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (hvid) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Den resterende kubiske er noget mere kompliceret …

Givet:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus transformation

For at gøre opgaven med at løse den kubiske enklere, gør vi den kubiske enklere ved hjælp af en lineær substitution kendt som en Tschirnhaus-transformation.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

hvor # T = (9x-2) #

Cardano metode

Vi ønsker at løse:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

Lade # T = u + v #.

Derefter:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Tilføj begrænsningen # V = 22 / u # at eliminere # (U + v) # sigt og få:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multiplicere gennem af # U ^ 3 # og omarrangere lidt for at få:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Brug den kvadratiske formel til at finde:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Da dette er Real og afledningen er symmetrisk i # U # og # V #, vi kan bruge en af disse rødder til # U ^ 3 # og den anden til # V ^ 3 # at finde Real root:

# T_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

og beslægtede komplekse rødder:

# t_2 = omega rod (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 rod (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 rod (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega rod (3) (305-27sqrt (113)) #

hvor # Omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # er den primitive komplekse terning rod af #1#.

Nu # X = 1/9 (2 + t) #. Så vores oprindelige kubiske rødder er:

# x_1 = 1/9 (2 + rod (3) (305 + 27sqrt (113)) + rod (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega rod (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 rod (3) (305-27sqrt (113)))

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 rod (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega rod (3) (305-27sqrt (113)))