Hvad er ekstreme og sadpunkterne for f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Jeg fandt ingen sadelpunkter, men der var et minimum:

#f (1/3, -2/3) = -1 / 3 #

For at finde ekstremt, tag det partielle derivat med hensyn til #x# og # Y # for at se om begge partielle derivater samtidig kan svare til hinanden #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Hvis de samtidig skal svare til hinanden #0#, de danner en system af ligninger:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

Dette lineær system af ligninger, når subtraheret for at annullere ud # Y #, giver:

# 3x - 1 = 0 => farve (grøn) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => farve (grøn) (y = -2/3) #

Da ligningerne var lineære, var der kun et kritisk punkt og dermed kun en ekstrem. Det andet derivat vil fortælle os, om det var et maksimum eller et minimum.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Disse andre delpartier er enige, så grafen er konkav op langs #x# og # Y # akser.

Værdien af #F (x, y) # ved det kritiske punkt er (ved at plugge tilbage til den oprindelige ligning):

#color (grøn) (f (1/3, -2/3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (-2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = farve (grøn) (- 1/3) #

Således har vi en minimum af #farve (blå) (f (1/3, -2/3) = -1/3) #.

Nu, for cross-derivater at kontrollere eventuelle sadelpunkter, der kunne være langs en diagonal retning:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Da disse både er enige, er det også i stedet for at være modsatte tegn ingen sadelpunkt.

Vi kan se, hvordan denne graf ser ud, bare for at tjekke: