Hvad er nogle eksempler på konvergerende serier?

Svar:

Her er tre vigtige eksempler …

Forklaring:

Geometrisk serie

Hvis #abs (r) <1 # så summen af den geometriske serie #a_n = r ^ n a_0 # er konvergent:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Eksponentiel funktion

Serien definerer # E ^ x # er konvergent for enhver værdi af #x#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

At bevise dette for enhver given #x#, lad # N # være et heltal større end #abs (x) #. Derefter #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konvergerer da det er en endelig sum og #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergerer, da den absolutte værdi af forholdet mellem successive udtryk er mindre end #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Basel problem

Basel-problemet, der blev stillet i 1644 og løst af Euler i 1734, bad om værdien af summen af reciprocals af kvadrater af positive heltal:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #