Find værdierne for x, for hvilke følgende serier er konvergerende?

Svar:

#1<>

Forklaring:

Når man forsøger at bestemme radius og / eller konvergensinterval for strømserier som disse, er det bedst at bruge Ratio Test, som fortæller os om en serie # Suma_n #, vi lader

# L = lim_ (n-> oo) | a_ (n + 1) / a_n | #.

Hvis #L <1 # serien er absolut konvergent (og dermed konvergent)

Hvis #L> 1 #serien afviger.

Hvis # L = 1, # Ratio-testen er ubetinget.

For Power Series er der dog tre tilfælde muligt

en. Effektserien konvergerer for alle reelle tal; dens konvergensinterval er # (- oo, oo) #

b. Effektserien konvergerer til et bestemt antal # x = a; # dens konvergensradius er nul.

c. Det hyppigste tilfælde, strømserien konvergerer til # | X-en |<> med et konvergensinterval på # En-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> oo) 1 = | 2x-3 | #

Så hvis # | 2x-3 | <1 #, konvergerer serien. Men vi har brug for dette i formularen # | X-en |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | X-3/2 | <1/2 # resulterer i konvergens. Konvergensradius er # R = 1/2 #

Lad os nu bestemme intervallet:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

Vi skal tilslutte # x = 1, x = 2 # ind i den oprindelige serie for at se om vi har konvergens eller divergens i disse endepunkter.

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ o (-1) ^ n # divergerer, summand har ingen grænse og bestemt ikke går til nul, det skifter blot tegn.

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # Divergerer også ved Divergens Testet, #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

Derfor konvergerer koncerten for #1<>

Vi kan bruge forholdstesten, der siger, at hvis vi har en serie

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

det er absolut konvergent, hvis:

#lim_ (n-> oo) | A_ (n + 1) / a_n | <1 #

I vores tilfælde # A_n = (2x-3) ^ n #, så vi kontrollerer grænsen:

#lim_ (n-> oo) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> oo) | ((2x-3) annullere ((2x-3) ^ n)) / annullere ((2x-3) ^ n) | = #

# = Lim_ (n-> oo) | 2x-3 | = 2x-3 #

Så vi skal kontrollere, hvornår # | 2x-3 | # er mindre end #1#:

Jeg har lavet en fejl her, men ovennævnte svar har samme metode og et korrekt svar, så bare kig på det i stedet.