Hvad er den absolutte ekstreme af f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x i [0, pi / 4]?

Svar:

absolut maks: # (pi / 4, pi / 4) #

absolut min: #(0, 0)#

Forklaring:

Givet: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x i 0, pi / 4 #

Find første derivat ved hjælp af produktreglen to gange.

Produktregel: # (uv) '= uv' + v u '#

Lade #u = 2x; "" u '= 2 #

Lade #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

For anden halvdel af ligningen:

Lade #u = x; "" u '= 1 #

Lade #v = cos (2x); "" v '= (- synd (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Forenkle:

#f '(x) = annullere (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x annullere (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Den pythagoranske identitet # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Det betyder, at der ikke er kritiske værdier, når #f '(x) = 0 #

Absolut Maksimum og Minimumsværdier findes i Funktionsintervallets Endpoints.

Test endepunkter af funktionen:

#f (0) = 0; "Absolut minimum:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4)

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2)

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Absolut maksimum:" (pi / 4, pi / 4) #