Hvad er den omtrentlige værdi af sqrt {107}?

Svar:

#sqrt (107) ~~ 31/3 ~~ 10.33 #

Forklaring:

Noter det:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# er præcis #1/3# af vejen mellem #100# og #121#.

Det er:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Så vi kan lineært interpolere mellem #10# og #11# at finde:

#sqrt (107) ~~10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~~ 10.33 #

(Til lineært interpolere i dette eksempel er at tilnærme kurven for parabolen i grafen af # Y = x ^ 2 # mellem #(10, 100)# og #(11, 121)# som en lige linje)

Bonus

For mere nøjagtighed kan vi bruge:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))

Sætte # A = 31/3 # vi vil have:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Derefter:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …)))

Så som et første forbedrings trin:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~~ 10.3441 #

Hvis vi ønsker mere nøjagtighed, brug flere vilkår:

#sqrt (107) ~~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~~ 10.34408043 #