Svar:
Se forklaring
Forklaring:
Det er let at se det
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Derfor har vi det # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 eller x = -3 #
Vær opmærksom på, at rødder # X_1 = 3, x_2 = -3 # har mangfoldighed af #2#
fordi vi har et fjerdegradspolynom.
Svar:
#x = + -3 #
Forklaring:
Normalt for at løse et polynom af grad 4 som den her, skal du gøre syntetisk division og bruge mange sætninger og regler - det bliver lidt rodet. Men denne er speciel, fordi vi faktisk kan gøre det til en kvadratisk ligning.
Det gør vi ved at lade #u = x ^ 2 #. Bare rolig om hvor # U # kom fra; det er bare noget, vi bruger til at forenkle problemet. Med #u = x ^ 2 #, problemet bliver
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Ser det ikke bedre ud? Nu har vi at gøre med en fin, let kvadratisk ligning. Faktisk er dette et perfekt firkant; med andre ord, når du faktor det, får du det # (U-9) ^ 2 #. Selvfølgelig kunne vi bruge den kvadratiske formel eller fuldføre firkanten for at løse denne ligning, men du er normalt ikke heldig nok til at have en perfekt kvadratisk kvadratisk - så drage fordel. På dette tidspunkt har vi:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
For at løse tager vi kvadratroden af begge sider:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
Og dette forenkler til
# u-9 = 0 #
Endelig tilføjer vi 9 til begge sider for at få
#u = 9 #
Fantastisk! Er der næsten. Men vores oprindelige problem har #x#s i det og vores svar har a # U # i det. Vi skal konvertere #u = 9 # ind i #x = # noget. Men ikke frygter! Husk i begyndelsen sagde vi lad #u = x ^ 2 #? Nå nu har vi vores # U #, vi sætter det bare ind igen for at finde vores #x#. Så, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (fordi #(-3)^2 = 9# og #(3)^2 = 9#)
Derfor er vores løsninger #x = 3 # og #x = -3 #. Noter det #x = 3 # og #x = -3 # er dobbelte rødder, så teknisk er alle rødderne #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
