Hvordan løser du x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = 0?

Svar:

Se forklaring

Forklaring:

Det er let at se det

$X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0$

Derfor har vi det $(x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 eller x = -3$

Vær opmærksom på, at rødder $X_1 = 3, x_2 = -3$ har mangfoldighed af $2$

fordi vi har et fjerdegradspolynom.

Svar:

$x = + -3$

Forklaring:

Normalt for at løse et polynom af grad 4 som den her, skal du gøre syntetisk division og bruge mange sætninger og regler - det bliver lidt rodet. Men denne er speciel, fordi vi faktisk kan gøre det til en kvadratisk ligning.

Det gør vi ved at lade $u = x ^ 2$ . Bare rolig om hvor $U$ kom fra; det er bare noget, vi bruger til at forenkle problemet. Med $u = x ^ 2$ , problemet bliver

$u ^ 2-18u + 81 = 0$ .

Ser det ikke bedre ud? Nu har vi at gøre med en fin, let kvadratisk ligning. Faktisk er dette et perfekt firkant; med andre ord, når du faktor det, får du det $(U-9) ^ 2$ . Selvfølgelig kunne vi bruge den kvadratiske formel eller fuldføre firkanten for at løse denne ligning, men du er normalt ikke heldig nok til at have en perfekt kvadratisk kvadratisk - så drage fordel. På dette tidspunkt har vi:

$(u-9) ^ 2 = 0$

For at løse tager vi kvadratroden af begge sider:

$sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0)$

Og dette forenkler til

$u-9 = 0$

Endelig tilføjer vi 9 til begge sider for at få

$u = 9$

Fantastisk! Er der næsten. Men vores oprindelige problem har $x$ s i det og vores svar har a $U$ i det. Vi skal konvertere $u = 9$ ind i $x =$ noget. Men ikke frygter! Husk i begyndelsen sagde vi lad $u = x ^ 2$ ? Nå nu har vi vores $U$ , vi sætter det bare ind igen for at finde vores $x$ . Så, $u = x ^ 2$

$9 = x ^ 2$

$sqrt (9) = x$

$x = + -3$ (fordi $(-3)^2 = 9$ og $(3)^2 = 9$ )

Derfor er vores løsninger $x = 3$ og $x = -3$ . Noter det $x = 3$ og $x = -3$ er dobbelte rødder, så teknisk er alle rødderne $x = 3$ , $x = 3$ , $x = -3$ , $x = -3$ .