Svar:
#3:# # Pi / 3 #
Forklaring:
Vi har:
#sum_ (n = 0) ^ oosin ^ n (theta) = 2sqrt (3) + 4 #
#sum_ (n = 0) ^ oo (sin (theta)) ^ n = 2sqrt (3) + 4 #
Vi kan prøve hver af disse værdier, og se hvilken giver # 2sqrt3 +4 #
#F (r) = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n = 1 / (1-r) #
#F ((3pi) / 4) - = f (pi / 4) = 1 / (1-sin (pi / 4)) = 2 + sqrt2 #
#F (pi / 6) = 1 / (1-sin (pi / 6)) = 2 #
#F (pi / 3) = 1 / (1-sin (pi / 3)) = 2sqrt3 +4 #
# Pi / 3- = 3 #
Der er en anden måde ved hjælp af geometrisk progression.
Serien er # 1 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # som kan skrives som
# (sintheta) ^ 0 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sintheta) ^ 3 + …. + oo # # fordi "alt" ^ 0 = 1 #
Vores første periode med progression # A = 1 # og fælles forholdet mellem hvert udtryk i serien er # R = sintheta #
Summen af en uendelig geometrisk progressionsserie er givet af:
# S_oo = a / (1-r), r 1 #
Plugging i de værdier vi har
# S_oo = 1 / (1-sintheta) #
Men, # S_oo = 2sqrt3 +4 # er givet.
Så, # 1 / (1-sintheta) = 2sqrt3 +4 #
# => 1 / (2sqrt3 + 4) = 1-sintheta #
Rationalisering af nævneren på venstre side, # => farve (rød) ((2sqrt3-4)) / ((2sqrt3 + 4) farve (rød) ((2sqrt3-4))) = 1-sintheta #
# => (2sqrt3-4) / (12-16) = 1-sintheta # # fordi (a + b) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => - (2sqrt3-4) / 4 = 1-sintheta #
# => - (cancel2sqrt3) / cancel4 ^ 2 + 4/4 = 1-sintheta #
# => -sqrt3 / 2 + cancel1 = cancel1-sintheta #
# => Annullere-sqrt3 / 2 = annullere-sintheta #
# => sqrt3 / 2 = sintheta #
# => theta = sin ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #
# => theta = 60 ° = π / 3 #
Håber dette hjælper.:)
