Svar:
Hjertet af # Y # er punktet #(-1.25, 26.875)#
Forklaring:
Til en parabol i standardform: # Y = ax ^ 2 + bx + c #
Vertex er det punkt hvor #x = (- b) / (2a) #
NB: Dette punkt vil være et maksimum eller et minimum af # Y # afhængigt af tegn på #en#
I vores eksempel: # y = 2x ^ 2 + 5x + 30 -> a = 2, b = 5, c = 30 #
#:. x_ "vertex" = (-5) / (2xx2) #
#= -5/4 = -1.25#
Erstatter for #x# i # Y #
#y_ "vertex" = 2xx (-5/4) ^ 2 + 5xx (-5/4) + 30 #
# = 2xx25 / 16 - 25/4 + 30 #
#= 50/16 -100/16+30 = -50/16+30#
#=26.875#
Hjertet af # Y # er punktet #(-1.25, 26.875)#
Vi kan se dette punkt som et minimum af # Y # på nedenstående graf.
graf {2x ^ 2 + 5x + 30 -43,26, 73,74, -9,2, 49,34}
For at finde vertexet, er det nemmeste at gøre (udover at grave problemet), at konvertere ligningen til vertex form. For at gøre det, skal vi "fuldføre pladsen"
# Y = 2x ^ 2 + 5x + 30 #
den førende koefficient skal være #1#, så faktor ud af #2#
# Y = 2 (x ^ 2 + 5 / 2x + 6) #
Vi skal finde en værdi, der ændrer sig # X ^ 2 + 5 / 2x + 6 # ind i et perfekt firkant.
For at gøre det skal vi tage mellem sigt, #5/2#, og opdele det ved #2#. Det giver os #5/4#.
Vores næste skridt er at firkantet resultatet: #(5/4)^2#, eller #25/16#
#- - - - - - - - - - - - - - #
Nu har vi vores manglende værdi: # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 # VENTE Vi kan ikke bare føje noget til et problem! Men hvis vi tilføjer noget og straks trækker det, har vi teknisk set ikke ændret ligningen, da de trækker ud til nul
Så vores problem er virkelig # x ^ 2 + 5 / 2x + 6 + 25/16 -25 / 16 #
Lad os omskrive dette: # X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 + 6-25 / 16 #
# X ^ 2 + 5 / 2x + 25/16 # er et perfekt firkant. Lad os omskrive det i den form: # (X + 5/4) ^ 2 #
Lad os nu se på vores ligning igen: # (X + 5/4) ^ 2 + 6-25 / 16 #
Lad os kombinere lignende vilkår: # (X + 5/4) ^ 2 + 71/16 #
Nu har vi ligningen i vertexform, og vi kan finde krydset meget nemt herfra
# (X + farve (rød) (5/4)) ^ 2 + farve (gul) (71/16) #
# (- farve (rød) (x), farve (gul) (y)) #
# (- farve (rød) (5/4), farve (gul) (71/16)) #
Det er toppunktet.
For at kontrollere vores arbejde, lad os grave vores ligning og se vertexet
graf {y = 2x ^ 2 + 5x + 30}
Vi havde ret! #-1.25# og #4.4375# svarer til #-25/16# og #71/16#
