Svar:
Centrum: #(2,-1)#
hjørner: # (2, 1/2) og (2, -5 / 2) #
Co-Hjørner: # (1, -1) og (3, -1) #
foci: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) og (2, (2-sqrt (5)) / 2) #
excentricitet: #sqrt (5) / 3 #
Forklaring:
Den teknik, vi vil bruge, kaldes at fuldføre firkanten. Vi skal bruge det på #x# Vilkår først og derefter # Y #.
Omlægge til
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Fokuserer på #x#deles igennem af # X ^ 2 # koefficient og tilføj firkanten med halvdelen af koefficienten af # X ^ 1 # sigt til begge sider:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Opdel gennem # Y ^ 2 # koefficient og tilføj firkant med halvdelen af koefficienten af # Y ^ 1 # sigt til begge sider:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Opdele ved #9/4# at forenkle:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Generel ligning er
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
hvor # (A, b) # er centrum og #h, k # er halv-mindre / større akse.
Aflæsning af centrum giver #(2, -1)#.
I dette tilfælde er # Y # retning har en større værdi end den #x#, så ellipsen vil blive strakt i # Y # retning. # k ^ 2> h ^ 2 #
Vinklerne opnås ved at flytte hovedaksen fra midten. dvs. # + - sqrt (k) # tilføjet til y-koordinatet for centret.
Dette giver # (2, 1/2) og (2, -5/2) #.
Sam-vertices ligger på mindre akse. Vi tilføjer # + - sqrt (h) # til centerets x-koordinat for at finde disse.
# (1, -1) og (3, -1) #
Nu for at finde foci:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 betyder c = + -sqrt (5) / 2 #
Foci vil blive placeret langs linjen #x = 2 # på # + - sqrt (5) / 2 # fra #y = -1 #.
#derfor# foci på # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) og (2, (2-sqrt (5)) / 2) #
Endelig findes excentriciteten ved hjælp af
# E = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
