Svar:
For at den tredje side skal være den korteste, kræver vi # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> absb # (og det #en# og # B # har samme tegn).
Forklaring:
Den længste side af en ret trekant er altid hypotenuse. Så vi ved, at hypotenusens længde er # A ^ 2 + b ^ 2 #
Lad den ukendte sidelængde være # C. # Derefter ved vi fra Pythagoras sætning
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
eller
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#COLOR (hvid) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#COLOR (hvid) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#COLOR (hvid) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#COLOR (hvid) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Vi kræver også, at alle sidelængder være positive, så
- # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 eller b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 eller a, b <0 #
- # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> A ^ 2> b ^ 2 #
# <=> ABSA> absb #
Nu for nogen trekant, den længste side skal være kortere end sum af de to andre sider. Så vi har:
#color (hvid) (=>) 2ab + "" c farve (hvid) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab farve (hvid) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," hvis b> 0), (a <b "," hvis b <0):} #
Endvidere, for tredje side at være mindste, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
eller # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # eller # a-b <sqrt2b # eller #a <b (1 + sqrt2) #
Ved at kombinere alle disse begrænsninger kan vi udlede at for at den tredje side skal være den korteste, må vi have # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb og (a, b <0 eller a, b> 0). #
