Lad x, y, z være tre reelle og adskilte tal, der opfylder ligningen 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, hvorefter Hvilken af følgende muligheder er korrekte ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z er i A.P

Svar:

Svaret er (a).

Forklaring:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 # kan skrives som

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

eller # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

dvs. # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

hvis # A = 4x #, # B = 2y # og # C = z #, så er det her

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

eller # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca = 0 #

eller # (A ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

eller # (A-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Nu hvis summen af tre firkanter er #0#, de skal hver være nul.

Derfor # A-b = 0 #, # B-C = 0 # og # C-a = 0 #

dvs. # A = b = c # og i vores tilfælde # 4x = 2y = z = k # sige

derefter # X = k / 4 #, # Y = k / 2 # og # Z = k #

dvs. # x, y # og # Z # er i G.P og # X / y = 2/4 = 1/2 #

# Y / z = 1/2 # og dermed er svaret (a).

# x, y, z # er tre reelle og forskellige tal, som opfylder ligningen

Givet

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) med ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Sum tre kvadrede reelle mængder er nul hver af dem skal være nul.

Derfor # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2to #Mulighed (a)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

og

# 2y-z = 0 => 2y = z #