Hvad er parabolas ligning med fokus på (5,3) og en directrix af y = -12?

Svar:

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

Forklaring:

Definitionen af en parabola siger, at alle punkter på parabolen altid har samme afstand til fokuset og direktoren.

Vi kan lade # P = (x, y) #, som vil repræsentere et generelt punkt på parabolen, vi kan lade # F = (5,3) # repræsenterer fokus og # D = (x, -12) # repræsenterer det nærmeste punkt på direktionen, den #x# er fordi det nærmeste punkt på directrix altid er lige ned.

Vi kan nu opsætte en ligning med disse punkter. Vi vil bruge afstandsformlen til at udarbejde afstande:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Vi kan anvende dette på vores punkter for først at få afstanden mellem # P # og # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Så løber vi afstanden imellem # P # og # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Da disse afstande skal være lig med hinanden, kan vi sætte dem i en ligning:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Siden punktet # P # er i almindelighed form og kan repræsentere ethvert punkt på parabolen, hvis vi bare kan løse # Y # i ligningen vil vi blive tilbage med en ligning, der vil give os alle punkter på parabolen, eller med andre ord, det vil være ligningen af parabolen.

Først vil vi firkantede begge sider:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Vi kan derefter udvide:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Hvis vi sætter alt til venstre og samler som vilkår, får vi:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

som er ligningen af vores parabola.