Spørgsmål # 53a2b + Eksempel

Svar:

Denne definition af afstand er invariant under ændring af inertiramme og har derfor fysisk betydning.

Forklaring:

Minkowski-rummet er konstrueret til at være et 4-dimensionelt rum med parameterkoordinater # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, hvor vi normalt siger # X_0 = ct #. Kernen i speciel relativitet har vi Lorentz-transformationerne, som er transformationer fra en inertiel ramme til en anden, der forlade lysets hastighed invariant. Jeg vil ikke gå ind i den fulde afledning af Lorentz-transformationerne, hvis du vil have mig til at forklare det, bare spørg, og jeg vil gå i detaljer.

Hvad der er vigtigt er følgende. Når vi ser på euklidisk rum (det rum, hvor vi har den almindelige definition af længde, som vi er vant til # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), vi har visse transformationer; rumlige rotationer, oversættelser og spejlinger. Hvis vi beregner afstanden mellem to punkter i forskellige referencerammer forbundet med disse transformationer, finder vi afstanden til at være den samme. Dette betyder, at den euklidiske afstand er uforanderlig under disse transformationer.

Nu udvider vi denne forestilling til 4-dimensional spacetime. Før Einsteins teori om speciel relativitet forbandt vi trægrammer ved Galilei-transformationer, som netop erstattede en rumlig koordinat # X_i # ved # X_i-v_it # til #iin {1,2,3} # hvor # V_i # er observatørens hastighed i #jeg# retning i forhold til den oprindelige ramme. Denne transformation forlod ikke lysets hastighed uændret, men den forlod afstanden induceret af ledningselementet # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, simpelthen fordi der ikke er nogen ændring i tidskoordinaten, så tiden er absolut.

Galilei-transformationen beskriver imidlertid ikke omdannelsen af en inertiel ramme til en anden, fordi vi ved, at lysets hastighed er uforvarende under en ordentlig koordinatransformation. Derfor har vi introduceret Lorentz transformationen. Den euklidiske afstand forlænget til 4-dim spacetime som udført ovenfor er ikke invariant under denne Lorentz-transformation, men afstanden induceret af # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # er, som vi kalder den rette afstand. Så selv om denne euklidiske afstand, hvor Pythagoras sætning holder, er en perfekt anstændig matematisk struktur på det 4 dim-rum, har det ingen fysisk betydning, da den er afhængig af observatøren.

Den korrekte afstand er ikke afhængig af observatøren, derfor kan vi give den fysisk betydning. Dette gøres ved at forbinde en verdenslinjes sammenhæng gennem Minkowski-rummet ved hjælp af denne afstand til den afleverede tid observeret af et objekt, der rejser langs denne verdenslinje. Bemærk, at hvis vi forlader tiden fast, holder Pythagoras sætningen stadig i de rumlige koordinater.

REDIGERING / YDERLIGERE FORKLARING:

Den oprindelige spørger om dette spørgsmål bad mig om at uddybe lidt mere, skrev han: "Tak. Men kan du venligst forklare de to sidste par lidt mere. I en bog så jeg, de havde # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 #. Forklar venligst "I det væsentlige har vi en todimensionel version af det, jeg har beskrevet ovenfor. Vi har en beskrivelse af spacetime med en gang og en rumdimension. Her defineres en afstand eller mere præcist en norm (en afstand fra oprindelsen til et punkt) # S # ved hjælp af formlen # S ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # hvor #x# er den rumlige koordinat og # T # den tidsmæssige koordinat.

Hvad jeg gjorde ovenfor var en tredimensionel version af dette, men vigtigere jeg brugte # (ds) ^ 2 # i stedet for # s ^ 2 # (Jeg har tilføjet parenteser til præcisering af, hvad der er kvadret). Uden at gå i detaljer om differentiel geometri for meget, hvis vi har en linje, der forbinder to punkter i rummet, # ds # er længden af et lille stykke af linjen, et såkaldt linieelement. Via en 2D-version af det jeg skrev ovenfor har vi # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, som relaterer længden af dette lille stykke til den lille ændring i koordinaterne. At beregne afstanden fra oprindelsen til et punkt # X_0 = en, x_1 = b # I rumtid beregner vi længden af en lige linje, der går fra oprindelsen til det punkt, denne linje er angivet # X_0 = a / bx_1 # hvor # X_1in 0, b #, bemærker vi det # Dx_0 = a / bdx_1 #, så # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, så # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, som vi kan integrere, give # S = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Derfor # S ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # i # (T, x) # koordinater.

Så hvad jeg skrev ovenfor giver det, du læste i bogen. Men linieelementversionen giver dig mulighed for at beregne længden af en hvilken som helst linje, ikke bare lige linjer. Historien om Lorentz-transformationen rummer stadig denne norm # S # er uændret under ændring af referenceramme, mens # X ^ 2 + (ct) ^ 2 # er ikke.

At Pythagoras sætning ikke holder, er ikke så overraskende. Pythagoras sætningen holder i euklidisk geometri. Det betyder, at det rum, du arbejder i, er fladt. Et eksempel på rum, der ikke er flade, er overfladen af en kugle. Når du vil finde afstanden mellem to punkter på denne overflade, tager du længden af den korteste vej over denne overflade, der forbinder disse to punkter. Hvis du skulle konstruere en rigtig trekant på denne overflade, som ville se meget anderledes ud end en trekant i det euklidiske rum, da linjerne ikke ville være lige, holder Pythagoras sætning generelt ikke.

Et andet vigtigt træk ved den euklidiske geometri er, at når du sætter et koordinatsystem på dette rum, udfører hver koordinator den samme rolle. Du kan rotere akserne og ende med den samme geometri. I Minkowski geometrien ovenfor har ikke alle koordinater samme rolle, da tidsakserne har et minustegn i ligningerne, og de andre har ikke. Hvis dette minustegn ikke var der, ville tid og rum have en lignende rolle i rumtiden eller i det mindste i geometrien. Men vi ved, at rum og tid ikke er de samme.