Sådan løses 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Svar:

Vi kan løse dette spørgsmål grafisk.

Forklaring:

Den givne ligning # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # kan genskrives som

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Tag nu disse to som separate funktioner

#F (x) = 2e ^ (x) # og #g (x) = 7-2x # og plot deres graf; deres skæringspunkt vil være opløsning til den givne ligning # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Dette er vist nedenfor: -

Svar:

Denne er ud over high school algebra, og den bedste måde at løse det på er at spørge Wolfram Alpha, der svarer #x ca..

Forklaring:

Løse

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Spørgsmål som dette er generelt svære, og svaret afhænger af, om du er i algebra på gymnasiet eller dybere i matematik.

For gymnasiet er den bedste tilgang bare at prøve nogle små tal og se om de arbejder. (Dette virker for mange, mange gymnasiale matematiske problemer, fyi.) Der er virkelig kun en rationel #x# det gør # E ^ x # rationel, # X = 0 #, som ikke er en løsning. Så gætteri kommer ikke til at fungere her.

Hvis en tilnærmelse er god nok, kan vi grave den eller graf # 2e ^ x # og # 7-2x # og se, hvor de mødes.

Uanset dit niveau, når du står over for en hård sådan som dette, er det normalt et godt træk at spørge den tilgængelige ekspert, som er Wolfram Alpha.

Vi ser Alpha gav os et omtrentligt svar, temmelig tæt på 1, og endda en formel ved hjælp af W (x), som Lambert Product Log, som normalt ikke er en del af gymnasietematikken.

Der er ikke noget svar ved hjælp af regelmæssige funktioner og operationer, vi ved om i algebra på gymnasiet. Det er generelt sandt, når vi tilføjer et udtryk med #x# i en eksponent til en hvor #x# vises som en lineær eller højere effekt.

Det er slutningen af svaret for de fleste studerende. Men vi kan gå dybere. Produktloggen er en interessant funktion.Overvej ligningen

# k = xe ^ x #

På højre side er en stigende funktion af #x#, så det vil krydse # K # før eller senere. At tage loggen får os ikke overalt: #ln k = ln x + x #.

Vi har brug for noget som en log, men ikke en, der er den omvendte # E ^ x #. Det skal være omvendt af # Xe ^ x #. Det kaldes produktloggen eller Lambert W-funktionen, defineret som:

# k = xe ^ x # har reel løsning #x = W (k) #.

Vi vil begrænse vores opmærksomhed på realerne. Det er sjovt at forsøge at opdage # W '#s egenskaber. Den grundlæggende vi er givet er

#W (xe ^ x) = x #

Lad os lade # X = I ^ y # i det følgende så #W (x) = y #. Nu

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Det er sejt. Hvad med

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Tager logfiler

# W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln w (x) = ln x - w (x) quad # forudsat at logfiler er defineret

Nu hvor du ser hvordan det er at arbejde med W, skal du se om du kan bruge det til at løse ligningen eller for at kontrollere Alfa's løsning

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #