Hvordan integrerer du e ^ x * cos (x)?

Svar:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Forklaring:

Går at bruge integration af dele to gange.

Til #u (x) og v (x) #, IBP er givet af

#int uv 'dx = uv - int u'vdx #

Lade #u (x) = cos (x) betyder, at du '(x) = -in (x) #

#v '(x) = e ^ x indebærer v (x) = e ^ x #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xcos (x) + farve (rød) (ikke ^ xsin (x) dx) #

Brug nu IBP på det røde udtryk.

#u (x) = sin (x) betyder, at du '(x) = cos (x) #

#v '(x) = e ^ x indebærer v (x) = e ^ x #

(x) dx = e ^ xcos (x) + e x xin (x) - xx xcos (x) dx #

Grupper integralerne sammen:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ x (cos (x) + synd (x)) + C #

Derfor

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #

Lade # I = inte ^ xcosxdx #

Vi bruger, Regler for integration af dele #: intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #.

Vi tager, # u = cosx, og, v = e ^ x #.

derfor # (du) / dx = -sinx, og, intvdx = e ^ x #. Derfor, # I = e ^ xcosx + ikke ^ xsinxdx = e ^ xcosx + J, J = ikke ^ xsinxdx #.

At finde # J #, vi anvender den samme regel, men nu med # U = sinx #, &, # V = e ^ x #, vi får,

# J = e ^ xsinx-inte ^ xcosxdx = e ^ xsinx-I #.

Sub.ing dette ind #JEG#, vi har, # I = e ^ xcosx + e ^ xsinx-I #, dvs.

# 2I = e ^ x (cosx + sinx) #, eller, # I = e ^ x / 2. (Cosx + sinx) #.

Nyd matematik.!

Svar:

# E ^ x / 2 (cosx + sinx) + C #.

Forklaring:

Lade # I = e ^ xcosxdx, og, J = ikke ^ xsinxdx #

Brug af IBP #; intuvdx = uintvdx-int (du) / dxintvdx dx #med,

# u = cosx og, v = e ^ x #, vi får, # I = e ^ xcosx-int (-sinx) e ^ XdX = e ^ xcosx + inte ^ xsinxdx #, dvs.

# I = e ^ xcosx + J rArr I-J = e ^ xcosx …. …………….. (1) #

Igen af IBP, i # J # vi får, # J = e ^ xsinx-inte ^ xcosx #, dermed, # J = e ^ xsinx-I rArr J + I = e ^ xsinx …………….. (2) #

Løsning #(1) & (2)# til #I og J #, vi har, # I = e ^ x / 2 (cosx + sinx) + C og J = e ^ x / 2 (sinx-cosx) + K #

Nyd matematik.!