Svar:
# X ^ 3-3x + 6 # har lokal ekstrem på # x = -1 # og # X = 1 #
Forklaring:
Den lokale ekstrem af en funktion forekommer ved punkter, hvor funktionens første derivat er #0# og tegn på de første derivatændringer.
Det er for #x# hvor #f '(x) = 0 # og heller ikke #f '(x-varepsilon) <= 0 og f' (x + varepsilon)> = 0 # (lokalt minimum) eller
#f '(x-varepsilon)> = 0 og f' (x + varepsilon) <= 0 # (lokal maksimum)
For at finde den lokale ekstrem, skal vi finde de punkter hvor #f '(x) = 0 #.
#f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) = 3 (x + 1) (x-1) #
så
#f '(x) = 0 <=> 3 (x + 1) (x-1) = 0 <=> x = + - 1 #
Ser på tegn på # F '# vi får
# {(f '(x)> 0 hvis x <-1), (f' (x) <0 hvis -1 <x <1), (f '(x)> 0 hvis x> 1):}
Så tegnet af # F '# Ændres ved hver af #x = -1 # og #x = 1 # hvilket betyder, at der er en lokal ekstrem på begge punkter.
Bemærk: Fra skiftet af tegn kan vi yderligere fortælle, at der er et lokalt maksimum på #x = -1 # og et lokalt minimum på #x = 1 #.
