Lad være N det mindste heltal med 378 divisorer. Hvis N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, hvad er værdien af {a, b, c, d} i NN?

Svar:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Forklaring:

Givet et nummer # N # med primære faktorisering #n = p_1 ^ (alfa_1) p_2 ^ (alfa_2) … p_k ^ (alfa_k) #, hver divisor af # N # er af formen # P_1 ^ (beta_1) P_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # hvor #beta_i i {0, 1, …, alpha_i} #. Som der er # Alpha_i + 1 # valg for hver # Beta_i #, antallet af divisorer af # N # er givet af

# (Alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Som # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, antallet af divisorer af # N # er givet af # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Således er vores mål at finde # (a, b, c, d) # sådan at ovennævnte produkt holder og # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # er minimal. Som vi minimerer, vil vi på dette punkt antage det #a> = b> = c> = d # (hvis det ikke var tilfældet, kunne vi bytte eksponenter for at få et mindre resultat med det samme antal divisorer).

Noterer det # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, kan vi overveje de mulige tilfælde, hvor #378# er skrevet som et produkt af fire heltal # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Vi kan inspicere disse for at se, hvilket producerer det mindste resultat for # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3, 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3,3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1,7xx10 ^ 9 #

#color (rød) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1,9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9,0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2,4xx10 ^ 9 #

Vi kan stoppe her, som alle andre tilfælde vil have nogle #k_i> = 27 #, giver # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, som allerede er større end vores bedste tilfælde.

Ved ovenstående arbejde, så # (a, b, c, d) # som producerer en minimal # N # med #378# divisors er # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, giver #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #