Hvis en sten falder i en højde på 174,9 m fra en helikopter, der stiger med en hastighed på 20,68 m / s, hvor lang tid tager stenen at nå jorden?

Svar:

8,45 sekunder.

Forklaring:

Retningen af 'g' når vi taler om acceleration afhænger af det koordinatsystem vi definerer. For eksempel hvis du skulle definere nedad som den positive 'y' så ville g være positiv. Konventionen er at tage opad som positiv, så g vil være negativ. Dette skal vi bruge, også vi tager jorden som #y = 0 #

#COLOR (rød) ("EDIT:") # Jeg har tilføjet en tilgang ved hjælp af de kinematiske ligninger, du lærer tidligt i bunden. Alt jeg har gjort her er at udlede disse ved hjælp af calculus, men jeg sætter pris på at du måske ikke har dækket det.Rul ned til den røde titel for ikke-beregningsmetoden.

Vi kan se nærmere på dette ved at starte fra bunden med Newtons anden lov. Når stenen er faldet, har den en indledende hastighed, men den eneste kraft, der virker på den, skyldes tyngdekraften. Vi har defineret opad som den positive y-retning så ved Newtons anden lov, vi kan skrive

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Dette skyldes, at stenen vil accelerere mod jorden, som vi har defineret som den negative retning.

Integrering af dette udtryk giver:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # er hastigheden af stenen, så når vi anvender den indledende hastighed ved #y '(0) = + 20.68 # vi ankommer til

# 20.68 = g * 0 + C #

#implies C = 20.68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Dette modellerer hastigheden og giver mening, hvis du tænker på det. Når den er frigivet, vil den have samme hastighed som helikopteret og vil således bevæge sig opad i en tid, men som tiden skrider frem, stopper den og begynder at falde.

For at finde forskydning integrerer vi igen:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Anvend først betingelse #y (0) = 174,9 #

# 174,9 = 20,68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

# derfor er y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

For at løse tiden for at nå jorden skal du sætte # Y = 0 # og løs den kvadratiske:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Dette er bestemt et job for den kvadratiske formel:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9))) / g #

tager #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 eller -4,23 #

Vi kasserer den negative løsning, derfor tager stenen 8,45 sekunder at ramme jorden.

#color (rød) ("Ingen beregnings metode") #

Vi ved det #v = v_0 + ved # hvor # V # er den endelige hastighed, # V_0 # er den indledende hastighed, #en# er acceleration og # T # er den tid det er ansøgt om.

Som jeg sagde tidligere, med et opadgående koordinatsystem # G # vil være negativ, men stenen vil oprindeligt bevæge sig opad på grund af den indledende hastighed. Vi ønsker at finde det punkt, hvor det holder op med at bevæge sig opad:

Sæt #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Brug nu

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # igen med #a = -g #

så #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21.8m #

Det betyder, at stenen stopper øjeblikkeligt på #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196.7m #

Nu har vi ikke nogen ubehagelige starthastigheder at kæmpe med, bare et lige fald fra denne højde:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Som det er positivt, vil faldende resultere i en negativ forskydning

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8.45 # som krævet.

Svar:

8.45s

Forklaring:

Helikopteren skubber med en hastighed # U = 20.68m / r # Så stenen faldt fra den vil have samme starthastighed som helikopterets stigende hastighed, men nedadgående tyngdekraften vil give den en nedadgående acceleration (g).

I betragtning af punktet om at slippe sten fra helikopter som oprindelse, fortsætter vi som følger

Hvis opad indledende hastighed tages positiv derefter nedadgående acceleration (g) bør tages som negativ og downard forskydning (h) bør også overvejes negativ.

#color (rød) ("Her opad + ve og nedadgående -ve") #

Nu beregning af tid (t) for at nå jorden

Så vi har

# u = + 20,68m / s #

# G = -9.8m / s ^ 2 #

# H = -174.9m #

#t =? #

Indsætte disse i bevægelsesligning under tyngdekraften (omfattende variablerne h, u, g, t) vi får

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174,9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174,9 = 0 #

# => T = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9))) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8.45s #

Samme ligning (1) opnås, hvis vi vender om retningen#color (rød) ("i.e.upward - ive og downward + ive.") #