En trekant har hjørnerne A, B og C placeret henholdsvis henholdsvis (3, 5), (2, 9) og (4, 8). Hvad er endpoints og længden af højden, der går gennem hjørne C?

Svar:

endpoints #(4,8)# og #(40/17, 129/17) # og længde # 7 / sqrt {17} #.

Forklaring:

Jeg er tilsyneladende ekspert i at besvare to års gamle spørgsmål. Lad os fortsætte.

Højden gennem C er vinkelret på AB gennem C.

Der er et par måder at gøre dette på. Vi kan beregne hældningen af AB som #-4,# så er den vinkelrette hældning #1/4# og vi kan finde mødet for vinkelret gennem C og linjen gennem A og B. Lad os prøve en anden måde.

Lad os kalde foden af vinkelret #F (x, y) #. Vi kender punktproduktet af retningsvektor CF med retningsvektoren AB er nul, hvis de er vinkelrette:

# (B-A) cdot (F - C) = 0 #

# (1-, 4) cdot (x-4, y-8) = 0 #

# x - 4 - 4y + 32 = 0 #

# x - 4y = -28 #

Det er en ligning. Den anden ligning siger #F (x, y) # er på linjen gennem A og B:

# (y - 5) (2-3) = (x-3) (9-5) #

# 5 - y = 4 (x-3) #

#y = 17 - 4x #

De mødes når

#x - 4 (17 - 4x) = -28 #

# x - 68 + 16 x = -28 #

# 17 x = 40 #

# x = 40/17 #

# y = 17 - 4 (40/17) = 129/17 #

Længden CF i højden er

#h = sqrt {(40 / 17-4) ^ 2 + (129/17 - 8) ^ 2} = 7 / sqrt {17} #

Lad os tjekke dette ved at beregne området ved hjælp af shoelace-formlen og derefter løse for højden. A (3,5), B (2,9), C (4,8)

#a = frac 1 2 | 3 (9) -2 (5) + 2 (8) -9 (4) + 4 (5) -3 (8) | = 7/2 #

# AB = sqrt {(3-2) ^ 2 + (9-5) ^ 2} = sqrt {17} #

#a = frac 1 2 b h #

# 7/2 = 1/2 h sqrt {17} #

# h = 7 / sqrt {17} quad quad quad sqrt #