Differentier og forenkle venligst hjælp?

Svar:

# X ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Forklaring:

Hurtig # X ^ tanx # som magt for e:

# X ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = D / DXE ^ (lnxtanx) #

Ved hjælp af kædelegemet # D / DXE ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # hvor # U = lnxtanx # og # D / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (D / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

Hurtig # E ^ (lnxtanx) # som en kraft af x:

# E ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = X ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Brug produktreglen, # D / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, hvor # U = LNX # og # V = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Derivatet af # Tanx # er # Sek ^ 2x #

# = X ^ tanx (sec ^ 2xlnx + (d / (dx) (LNX)) tanx) #

Derivatet af # LNX # er # 1 / x #

# = X ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Svar:

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Forklaring:

Vi skal bruge logaritmisk differentiering - det vil sige, vi tager begge sides naturlige log og differentierer implicit med w.r.t #x#

Givet: # Y = x ^ tan (x) #

Tag den naturlige logbog (# Ln #) på begge sider:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Anvendelse af magtreglen for naturlig log #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Differentier begge sider implicit w.r.t #x#

# 1 / y * dy / dx = farve (blå) (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Se arbejde nedenfor)

For at differentiere RHS skal vi bruge produktreglen!

Vi har # D / dx tan (x) * ln (x) #

Lade #F (x) = tan (x) # og #g (x) = ln (x) #

Dermed, #F '(x) = sec ^ 2 (x) # og #g '(x) = 1 / x #

Ved produktreglen: # D / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Ved at erstatte får vi:

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Forenkling …

# D / dx tan (x) * ln (x) = sec ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Gå tilbage til hvad vi havde før:

# 1 / y * dy / dx = sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Vi vil isolere # Dy / dx # så vi multiplicerer begge sider ved # Y #

#cancelcolor (rød) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * farve (rød) y #

# Dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * farve (rød) y #

Vi vil skrive alt hvad angår #x# men vi har det her #COLOR (rød) y # i vejen. Du kan huske det #COLOR (rød) y # er givet til os helt fra begyndelsen. #COLOR (rød) (y = x ^ tan (x)) #

#:. dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #