Hvordan bruger du grænsekomparationstesten for sum 1 / (n + sqrt (n)) for n = 1 til n = oo?

Svar:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # Divergerer, dette kan ses ved at sammenligne det med #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Forklaring:

Da denne serie er en sum af positive tal, skal vi finde enten en konvergerende serie #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # sådan at #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # og konkludere, at vores serie er konvergent, eller vi skal finde en divergerende serie sådan #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # og konkludere med, at vores serier også er divergerende.

Vi bemærker følgende:

Til

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Derfor

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Så

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Da det er velkendt, at #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # divergerer, så #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # divergerer også, da hvis det ville konvergere, så # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # ville også konvergere, og det er ikke tilfældet.

Nu bruger vi sammenligningstesten, så ser vi det #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # divergerer.

Limitsammenligningstesten tager to serier, # Suma_n # og # Sumb_n # hvor #a_n> = 0 #, # B_ngt0 #.

Hvis #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # hvor #L> 0 # og er endelig, så enten begge serier konvergerer eller begge serier afviger.

Vi burde lade # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, sekvensen fra den givne serie. En god # B_n # valg er den overvældende funktion som # A_n # tilgange som # N # bliver stor. Så lad det være # B_n = 1 / n #.

Noter det # Sumb_n # divergerer (det er den harmoniske serie).

Så ser vi det #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Fortsætter ved at dividere gennem # N / n #, bliver dette #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Da grænsen er #1#, som er #>0# og defineret, ser vi det # Suma_n # og # Sumb_n # vil både afvige eller konvergere. Da vi allerede ved # Sumb_n # divergerer, kan vi konkludere det # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # divergerer også.