Svar:
Allerede besvaret her.
Forklaring:
Du skal først finde # Sin18 ^ @ #, for hvilke detaljer er tilgængelige her.
Så kan du få # Cos36 ^ @ # som vist her.
Svar:
Vi løser #cos (2 theta) = cos (3 theta) # eller # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # til # x = cos 144 ^ cirk # og få #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}). #
Forklaring:
Vi får #cos 36 ^ circ # mildt indirekte fra den dobbelte og tredobbelte vinkelformel for cosinus. Det er ret koldt, hvordan det er gjort, og har en overraskelse, der slutter.
Vi vil fokusere på #cos 72 ^ circ #. Vinklen # Theta = 72 ^ Circ # tilfredsstiller
#cos (2 theta) = cos (3 theta). #
Lad os løse det for # Theta #, minder om #cos x = cos a # har løsninger #x = pm a + 360 ^ cirkel k. #
# 2 theta = pm 3 theta + 360 ^ circ k #
# 5 theta = 360 ^ circ k # eller # -theta = 360 ^ circ k #
#theta = 72 ^ circ k #
Det omfatter # 360 ^ circ k # så vi kan tabe "eller" delen.
Jeg skriver ikke et mysterium her (trods overraskelsen slutter) så jeg vil nævne det #cos (2 (72 ^ cirk)) = cos (144 ^ cirk) = - cos (36 ^ cirk) er også en gyldig løsning, og vi ser hvordan det er relateret til spørgsmålet.
#cos (2 theta) = cos (3 theta) #
# 2 cos ^ 2 theta -1 = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #
Lad nu # x = cos theta #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
Vi ved # x = cos (0 gange 72 ^ cirk) = 1 # er en løsning så # (X-1) # er en faktor:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
Kvadratisk har rødder
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
Den positive må være #cos 72 ^ circ # og den negative #cos 144 ^ circ #.
#cos 144 ^ circ = 1/4 (-1 - sqrt {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
Det er svaret. Overraskelsen er, at det er halvdelen af den Golden Ratio!
