Spørgsmål # 69feb

Svar:

Normal linje: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangent linje: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Forklaring:

Til intuition: Forestil dig at funktionen #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # beskriver højden af nogle terræn, hvor #x# og # Y # er koordinater i flyet og #ln (y) # antages at være den naturlige logaritme. Så alle # (X, y) # sådan at #F (x, y) = a # (højden) er lig med nogle konstante #en# kaldes niveaukurver. I vores tilfælde er den konstante højde #en# er nul siden #F (x, y) = 0 #.

Du er måske bekendt med topografiske kort, hvor de lukkede linjer indikerer linjer med samme højde.

Nu gradienten #delte f (x, y) = ((delvist f) / (delvist x), (delvist f) / (delvist x)) = (exxIn (y) - y, e ^ x / y - x) # giver os retningen på et tidspunkt # (X, y) # hvori #F (x, y) # (højden) ændrer den hurtigste. Dette er enten lige op eller lige ned ad bakken, så længe vores terræn er glat (differentierbar), og vi er ikke på toppen, i bunden eller på et plateau (et ekstrempunkt). Dette er faktisk den normale retning til en kurve af konstant højde, sådan at ved # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2-2) = (e ^ 2, -1).

Derfor er normal linje i den retning går igennem # (2, e ^ 2) # kan beskrives som

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, hvor #s i mathbbR # er en reel parameter. Du kan eliminere # S # at udtrykke # Y # som en funktion af #x# hvis du foretrækker at finde

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Retningsderivatet i tangentretningen skal være #0# (hvilket betyder at højden ikke ændres), så en tangentvektor # (U, v) # skal tilfredsstille

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, hvor # Cdot # betyder prikken. Så # (u, v) = (1, e ^ 2) # er et gyldigt valg. Derfor er tangent linje går gennem # (2, e ^ 2) # kan beskrives som

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t i mathbbR #.

Løsning for # Y # giver det

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Du skal endelig kontrollere det # (2, e ^ 2) # ligger på kurven #F (x, y) #, på tangentlinjen og på den normale linje.