Hvad er hældningen af tangentlinjen 3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y = C, hvor C er en vilkårlig konstant ved (2,5)?

Svar:

# Dy / dx = -20/21 #

Forklaring:

Du bliver nødt til at kende det grundlæggende ved implicit differentiering af dette problem.

Vi ved, at tangentlinjens hældning på et punkt er derivatet; så det første skridt er at tage derivatet. Lad os gøre det stykke for stykke, begyndende med:

# D / dx (3y ^ 2) #

Denne er ikke for hård; du skal bare anvende kædelegemet og magtreglen:

# D / dx (3y ^ 2) #

# -> 2 * 3 * y * dy / dx #

# = 6ydy / dx #

Nu på # 4xy #. Vi skal bruge strøm-, kæde- og produktreglerne for denne:

# D / dx (4xy) #

# -> 4 d / dx (xy) #

# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)) -> # Produktregel: # D / dx (uv) = u'v + uv '#

# = 4 (y + xdy / dx) #

# = 4y + 4xdy / dx #

Okay endelig # X ^ 2y # (mere produkt, strøm og kæde regler):

# D / dx (x ^ 2y) #

# = (X ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #

# = 2xy x ^ 2DY / dx #

Nu hvor vi har fundet alle vores derivater, kan vi udtrykke problemet som:

# D / dx (3y ^ 2 + 4xy x ^ 2y) = d / dx (C) #

# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy x ^ 2DY / dx = 0 #

(Husk derivatet af en konstant is #0#).

Nu indsamler vi vilkår med # Dy / dx # på den ene side og flytte alt andet til det andet:

# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy x ^ 2DY / dx = 0 #

# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2DY / dx = - (4y + 2xy) #

# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #

# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

Alt, hvad der er tilbage at gøre, er plug-in #(2,5)# for at finde vores svar:

# Dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

# Dy / dx = - (4 (5) 2 (2) (5)) / (6 (5) 4 (2) + (2) ^ 2) #

# Dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #

# Dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #