Svar:
# xx2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Forklaring:
For dette problem er fornuftigt # 4-9x ^ 2> = 0 #, så # -2/3 <= x <= 2/3 for #. Derfor kan vi vælge en # 0 <= u <= pi # sådan at # X = 2 / 3cosu #. Ved hjælp af dette kan vi substitere variablen x i integralet ved hjælp af # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # her bruger vi det # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # og det for # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Nu bruger vi integration af dele til at finde # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Derfor # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Så vi har fundet #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, nu erstatter vi #x# tilbage til # U #, ved brug af # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, så #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (-1) (3x) / 2) + c #.
Vi kan yderligere forenkle dette ved at bruge definitionen af sines og cosines i form af trekanter. For en rigtig trekant med en vinkel # U # ved et af de ikke-højre hjørner # sinu = "modsatte side" / "længste side" #, mens # cosu = "tilstødende side" / "længste side" #, da vi ved det # Cosu = (3x) / 2 #, vi kan vælge den tilstødende side at være # 3x # og den længste side at være #2#. Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi den modsatte side at være #sqrt (4-9x ^ 2) #, så #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Derfor # xx2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
