Spørgsmål # 90cf3 + Eksempel

Svar:

At finde røtter af ligninger som # e ^ x = x ^ 3 #, Anbefaler jeg, at du bruger en rekursiv numerisk analyse metode, kaldet Newtons metode

Forklaring:

Lad os lave et eksempel.

For at bruge Newtons metode skriver du ligningen i formularen #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Beregn #F '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Fordi metoden kræver, at vi foretager den samme beregning mange gange, indtil den konvergerer, anbefaler jeg, at du bruger et Excel-regneark; Resten af mit svar indeholder instruktioner om, hvordan du gør dette.

Indtast et godt gæt for x i celle A1. Til denne ligning vil jeg indtaste 2.

Indtast følgende i celle A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Bemærk venligst, at ovenstående er Excel-regnearkssprog for

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Kopier indholdet af celle A2 til A3 gennem A10. Efter kun 3 eller 4 rekursioner kan du se, at metoden er konvergeret

#x = 1.857184 #

Svar:

Vi kan bruge mellemværdets sætning til at se, at hvert par har mindst et krydsningspunkt.

Forklaring:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # er kontinuerlig på hele den reelle linje.

På # X = 0 #, vi har #F (0) = 1 #.

På # x = -1 #, vi har #f (-1) = 1 / e-1 # hvilket er negativt.

# F # er kontinuerlig på #-1,0#, så der er mindst en # C # i #(-1,0)# med #F (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # er kontinuerlig på hele den reelle linje.

På # X = 0 #, vi har #g (0) = 1 #.

På # X = 2 #, vi har #g (2) = e ^ 2-8 # hvilket er negativt.

(Noter det # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # er kontinuerlig på #0,2#, så der er mindst en # C # i #(0,2)# med #g (c) = 0 #.