Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Beregn forventningsværdien på et senere tidspunkt t = t_1 er phi_n energi egenfunktioner af den uendelige potentielle brønd. Skriv svaret i form af E_0?

Nå, jeg får # 14 / 5E_1 #… og givet dit valgte system, kan det ikke gentages i form af # E_0 #.

Der er så mange kvantemekanikregler brudt i dette spørgsmål …

• Det # Phi_0 #, da vi bruger uendelige potentielle brøndløsninger, forsvinder automatisk … #n = 0 #, så #sin (0) = 0 #.

Og for kontekst havde vi ladet #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

• det er umulig at skrive svaret i form af # E_0 # fordi #n = 0 # findes IKKE for den uendelige potentielle brønd. Medmindre du vil have partiklen til forsvinde , Jeg må skrive det i form af # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

• Energien er en konstant bevægelse, dvs. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

Så nu…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L)

Forventningsværdien er en konstant bevægelse, så vi er ligeglade med hvilken tid # T_1 # vi vælger. Ellers er dette ikke et konservativt system …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # for nogle #n = 1, 2, 3,… #

Faktisk ved vi allerede hvad det skal være, da Hamiltonian for den en-dimensionelle uendelige potentielle brønd er tid-uafhængig …

#hatH =-^ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

og # (E ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # gå til 1 i integralet:

#color (blå) (<< E >>) = (1/3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>)

hvor vi har ladet #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Igen afbryder alle fasefaktorer ud, og vi bemærker, at de off-diagonale termer går til nul på grund af orthogonaliteten af # Phi_n #.

Nævneren er normen for # Psi #, som er

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Derfor, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. Det giver:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) annullere (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) annullere (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) annullere (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) synd ((2pix) / L) annullere (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Påfør derivaterne:

# = 6/5 1/3 (2 / l) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ^ ^ 2 / (2m) cdot pi2 / L ^ 2 synd pix) / L) dx + 1/2 (2 / l) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstanter flyder ud:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / l) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / l) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Og dette integral er kendt for fysiske grunde til at være halvvejs mellem #0# og # L #, uafhængig af # N #:

(2 / L2) / 2mL ^ 2 (2 / L) L / 2 + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = farve (blå) (14/5 E_1) #

Svar:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Forklaring:

Hver stationær tilstand svarer til energi egenværdi # E_n # henter en fasefaktor #e ^ {- iE_n t} # til tiden evolution. Den givne tilstand er ikke en stationær stat - da det er overlejring af energi egenskaber, der tilhører forskellige egenværdier. Som et resultat vil det udvikle sig i tid på en ikke-trivial måde. Schroedinger-ligningen, der styrer tidens udvikling af stater, er imidlertid lineær - således at hver komponentenergiefunktion udvikler sig selvstændigt - opfanger sin egen fasefaktor.

Så startvågfunktionen

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

udvikler sig i tide # T # til

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏt} + sqrt / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Således værdiansætter energien på tidspunktet # T # er givet af

(X, t) hat {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏt} + sqrt phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏt} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏt} + sqrt 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) gange (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏt} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

hvor vi har brugt det faktum at #phi_i (x) # er energi egenskaber, så det #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

Dette giver os stadig ni vilkår. Den endelige beregning er imidlertid forenklet meget ved den kendsgerning, at energi egenfunktionerne er ortho-normaliserede, dvs. de adlyder

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

Det betyder, at de ni integraler, kun tre overlever, og vi får

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Brug standardresultatet som #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, vi har # E_1 = 4E_0 # og # E_2 = 9E_0 # for en uendelig potentiel brønd (du kan være mere vant til et udtryk, der siger #E_n propto n ^ 2 # til en uendelig brønd - men i disse er jorden tilstand mærket # E_1 # - her mærker vi det # E_0 # - dermed ændringen). Dermed

# <E> = (1/6 gange 1 + 1/3 gange 4 + 1/2 gange 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Bemærk:

1. Mens individuelle energiegenskaber udvikler sig i tide ved at samle en fasefaktor, den generelle bølgefunktion gør ikke afviger fra den oprindelige ved kun en fasefaktor - derfor er det ikke længere en stationær tilstand.
2. De involverede integraller var ligesom

   (i_i_i / ℏt) E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏt} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} gange int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

   og disse ser ud som om de er tidsafhængige. Men de eneste integraler, der overlever er dem til # I = j # - og det er netop dem, som tidsafhængigheden afbryder.

3. De sidste resultater passer til, at #hat {H} # er bevaret - selv om staten ikke er en stationær stat - energiforventningsværdien er uafhængig af tiden.
4. Den oprindelige bølgefunktion er allerede normaliseret siden # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # og denne normalisering bevares i tiden evolution.
5. Vi kunne have nedskåret en masse arbejde, hvis vi havde brugt et standard kvantemekanisk resultat - hvis en bølgefunktion udvides i form #psi = sum_n c_n phi_n # hvor er # Phi_n # er egenfunktioner hos en hermitisk operatør #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, derefter # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, forudsat selvfølgelig, at staterne er ordentligt normaliseret.