Hvad er overfladearealet af en 11 cm høj pyramide, hvis bund er en ligesidet trekant med en 62 cm omkreds? Vis arbejde.

Svar:

´# 961 / sqrt (3) cm ^ 2 ~ = 554.834 cm ^ 2 #

Forklaring:

For en bedre forståelse henvises til nedenstående figurer

Vi har at gøre med et fast stof med 4 ansigter, det vil sige en tetrahedron.

konventioner (se fig. 1)

Jeg ringede

• # H # tetrahedronens højde,
• #h "'" # den skrå højde eller højde af de skrånende ansigter,
• # S # hver af siderne af den ligesidede trekant af tetrahedronens base,
• # E # hver af kanterne af de skrå triangler, når de ikke er # S #.

Der er også

• # Y #, højden af ligesidet trekant af tetrahedronens base,
• og #x#, den trekant af apoteket.

Omkredsen af #triangle_ (ABC) # er lig med 62, så:

# s = 62/3 #

I figur 2 kan vi se det

#tan 30 ^ @ = (s / 2) / y # => # Y = (s / 2) * 1 / (sqrt (3) / 3) = 31 / annullere (3) * annullere (3) / sqrt (3) = 31 / sqrt (3) ~ = 17,898 #

Så

#S_ (triangle_ (ABC)) = (s * y) / 2 = (62/3 * 31 / sqrt (3)) / 2 = 961 / (3sqrt (3)) ~ = 184,945 #

og det

# s ^ 2 = x ^ 2 + x ^ 2-2x * x * cos 120 ^ @ #

# s ^ 2 = 2x ^ 2-2x ^ 2 (-1/2) #

# 3x ^ 2 = s ^ 2 # => # X = s / sqrt (3) = 62 / (3sqrt (3) #

I figur 3 kan vi se det

# E ^ 2 = x ^ 2 + h ^ 2 = (62 / (3sqrt (3))) ^ 2 + 11 ^ 2 = 3844/27 + 121 = (3844 + 3267) / 27 = 7111/27 # => # E = sqrt (7111) / (3sqrt (3)) #

I figur 4 kan vi se det

# E ^ 2 = h ' "" ^ 2+ (s / 2) ^ 2 #

#t "'" ^ 2 = e ^ 2- (s / 2) ^ 2 = (sqrt (7111) / (3sqrt (3))) ^ 2- (31/3) ^ 2 = (7111-3 * 1089) / 27 = 3844/27 #

#t "'" = 62 / (3sqrt (3)) ~ = 11,932 #

Areal af en skrå trekant

#S _ ("skråt" trekant) = (s * h "'") / 2 = (62/3 * 62 / (3sqrt (3))) / 2 = 1922 / (9sqrt (3)) ~ = 123.296 #

Så er det samlede areal

# S_T = S_ (triangle_ (ABC)) + 3 * S _ (skråt trekant) = 961 / (3sqrt (3)) + 1922 / (3sqrt (3)) = 961 / sqrt (3) cm ^ 2 ~ = 554.834 cm ^ 2 #