Brug det første princip til at differentiere? y = sqrt (sinx)

Svar:

Trin 1 er at omskrive funktionen som en rationel eksponent #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Forklaring:

Når du har dit udtryk i den form, kan du differentiere det ved hjælp af kædelegemet:

I dit tilfælde: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Derefter, # 1 / 2sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # hvilket er dit svar

Svar:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Forklaring:

Ved hjælp af grænsedefinitionen af derivatet har vi:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Så for den givne funktion, hvor #F (x) = sqrt (sinx) #, vi har:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# sql (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))

Så kan vi bruge den trigonometriske identitet:

# synd (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Giver os:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))) #

# cos / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Så bruger vi to meget almindelige beregningsgrænser:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, og #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, og #

Og vi kan nu vurdere grænserne:

+ sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #