Hvad er ekstrem- og sadelpunkterne for f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Svar:

Sadlen peger på oprindelsen.

Forklaring:

Vi har:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Og så udledes vi de partielle derivater. Husk, når vi delvist differentierer, at vi differentierer med den pågældende variabel, mens vi behandler de andre variabler som konstant. Også:

# (delvist f) / (delvist x) = 2xy-y ^ 2 # og # (delvis f) / (delvis y) = x ^ 2-2yx #

På en ekstrem eller sadelpunkt har vi:

# (delvist f) / (delvis x) = 0 # og # (delvis f) / (delvis y) = 0 # samtidigt:

dvs. en samtidig opløsning af:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Derfor er der kun et kritisk punkt på oprindelsen #(0,0)#. For at fastslå karakteren af det kritiske punkt er analytikere af den multi-variable Taylor-serie påkrævet, og følgende testresultater:

# Delta = (partial ^ 2 f) / (partial x ^ 2) (partial ^ 2 f) / (partial y ^ 2) - {(partial ^ 2 f) / (partial x partial y)} ^ 2 <0 => # sadel punkt

Så vi beregner de anden partielle derivater:

# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = 2y #;# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = -2x # og # (delvist ^ 2 f) / (delvist x delvist y) = 2x-2y #

Og så hvornår # x = 0, y = 0 # vi får:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Hvilket betyder, at standard sadeltesten er inkluderende, og der kræves yderligere analyse. (Dette ville typisk indebære at se på tegnene på funktionen på tværs af forskellige skiver eller se på den tredje partielle afledte test, der ligger uden for dette spørgsmål!).

Vi kan også se på 3D-plottet og drage en hurtig konklusion om, at det kritiske punkt synes at svare til et sadpunkt: