Hvad er grænsen for ((1 / x) - ((1) / (e ^ (x) -1)) når x nærmer sig 0 ^ +?

Svar:

# lim_ (x rarr 0 ^ +) 1 / x- (1) / (e ^ x-1) = 1/2 #

Forklaring:

Lade:

# f (x) = 1 / x- (1) / (e ^ x-1) #

# "" = ((e ^ x-1) - (x)) / (x (e ^ x-1)) #

# "" = (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Så søger vi:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) f (x) #

# lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1 - x) / (xe ^ x-x) #

Da dette er af ubestemt form #0/0# vi kan anvende L'Hôpital's regel.

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (exx-1-x)) / (d / dx (xe ^ x-x)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x-1) / (xe ^ x + e ^ x - 1) #

Igen er dette en ubestemt form #0/0# vi kan igen anvende L'Hôpital's regel igen:

# L = lim_ (x rarr 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (xe ^ x + e ^ x - 1)) #

# = lim_ (x rarr 0 ^ +) (e ^ x) / (xe ^ x + e ^ x + e ^ x) #

# = (e ^ 0) / (0 + e ^ 0 + e ^ 0) #

# = 1/2 #